第5讲奇数与偶数全体整数根据被2除的余数可以分为两类：余数为0的数叫偶数，余数为1的数叫奇数。一个整数要么是奇数，要么是偶数，是奇数就不能是偶数，是偶数就不能是奇数，即奇数≠偶数。除此之外，运用奇偶分析解题，常常要用到下列几个基本性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；若干个偶数的和是偶数。若干个奇数之积是奇数；偶数与任意整数之积是偶数，下面我们就利用这些性质解一些题目。例1能否在下式的每个方格中，分别填入加号或减号，使等式成立。1□2□3□4□5□6□7□8□9=10分析：先随便填入加号或减号试一试，总也不能得到10，因此猜测答案应该是不能。特别是如果都填加号，得数是45，是奇数。但怎样才能说明白呢？下面通过分析整数的奇偶性来解决问题。解：由于任意两个自然数之和与差的奇偶性相同，因此无论在方格中怎样填加减号，所得结果的奇偶性与在每个方格中都填入加号所得结果的奇偶性一样。但是在每个方格中都填入加号所得的结果45是奇数，而式子的右边是10偶数，两边的奇偶性不同，奇数≠偶数，因此无论怎样填，都不可能使等式成立。说明：因为a-b=a+b-2b,因此a-b与a+b有相同的奇偶性。看似说不清的题目，用简单的奇数≠偶数就解决了。例2两个四位数相加，第一个四位数的每个数码都不小于5，第二个四位数只是第一个四位数的数码调换了位置。某同学得出的答案是16246。试问该同学的答案正确吗？如果正确，写出这两个四位数；如果不正确，请说明理由。分析：每个数码都不小于5的四位数有很多，一一去试验显然不太现实。由于第二个四位数只是第一个四位数的数码调换了位置，因此下面我们分析这两个四位数的数码之和的奇偶性。解：由于这两个四位数仅仅是数码调换了位置，所以这两个四位数的四个数码之和相同。因此这两个四位数的数码之和是一个偶数。由于这两个四位数的每一个数码都不小于5，因此，这两个数相加时，其个位、十位、百位、千位都要进位。如果16246是正确的，那么这两个四位数的个位上两数字之和应是16，十位上两数字之和应是13，百位上两数字之和应是11，千位上两数字之和应是15，因此这两个四位数的数码之和是16+13+11+15=55是奇数。由于奇数≠偶数，所以该同学的答案是错误的。说明：本题也可以这样说明：由于这两个四位数仅仅是数码调换了位置，所以这两个四位数的四个数码之和相同。因此这两个四位数的数码之和是一个偶数。这两个四位数的每一个数码都不小于5，因此，这两个数相加时，有四次进位，每进一次位，所得的数码之和将减少9，四次进位共减少36，所以和的数码之和仍是偶数。但是1+6+2+4+6=19是奇数，奇数≠偶数，所以该同学的答案是错误的。例3在黑板上写上数1，2，3，4，⋯⋯98,每次擦去任意两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数能是1000吗？分析：擦去任意两个数，换上这两个数的和或差，叫做一次操作。考察每操作一次，这些数会发生什么变化。可以发现奇数个数的奇偶性不变，从而黑板上只剩下一个数时，这个数只能是奇数。解：如果擦去两个偶数或一奇一偶，那么操作一次，黑板上奇数个数不变。如果擦去两个奇数，那么操作一次，黑板上奇数就减少2个。所以，每操作一次，黑板上的奇数或不变或减少2个，即奇数个数的奇偶性不变。因为1，2，3，4，⋯⋯98中共有49个奇数，所以，操作若干次后，黑板上仅留下一个数时，这个数只能是奇数，即这个数不可能是1000。说明：在一定的规则下进行某种操作或变换，问是否（或证明）能达到一个预期的目的，这就是所谓的操作变换问题。此类问题形式多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中挖掘不变量、不变性。例4在4×4的方格纸的16个小方格内，从1、3、5三个数中任选一个数填入。能不能使得4×4的方格纸的每行、每列以及两条对角线上的四个数的和均不相同。如果能，请在小方格内填上满足要求的数；如果不能请说明理由。分析：4×4的方格纸的每行、每列以及两条对角线上的四个奇数的和是偶数，且是10个不同的偶数，而从1、3、5中任选四个最多只有9个偶数。解：不能。因...
