第八讲最大与最小在实际生活与生产实践中，人们总是想用最少的财力、物力、人力以及时间等在可能的范围内取得最佳效益。况且，在许多现实问题中有时很难确定或者就不需要具体的每个数值，有时只关心最大、最小等极值。这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。经常只能根据具体问题，综合运用所学知识进行求解。例1某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？分析：想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束：A种：由20朵花组成的花束价值4元B种：由35朵花组成的花束价值6元C种：由50朵花组成的花束每束价值9元平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买。由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵。因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵。说明：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数可以先缩小字母的取值范围。例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束。同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16例2有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数。分析：要得到最大的自然数，应使得这个自然数的位数尽可能地多。如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的位数越少，所以若想按规则构造最大的自然数，前两个数字应取10，这类数中，最小的应是三位数，先考虑百位为1的自然数，若十位数字为a，则个位数字为（a+1），只有当a+（a+1）>9时，即a≥5时，才能保证按规则构造的数是三位数，取a=5。解：这类数中最大的是10112358，最小的是156。说明：在自然数中求满足条件的某个量的最值问题（常称离散最值问题）往往解法比较灵活，但只要仔细分析条件，进行深入细致的推理，是不难解决的。这对培养学生的创新思维能力是非常好的材料。例3设四个不同的正整数构成的四数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大数与其余三数的平均值之和为29，在满足上述条件的所有四数组中，找出最大的那个数。分析：设四个不同的正整数从大到小依次为a，b，c，d，依题意可列出两个方程：将这两个方程变形为：②-①得：即a=18+d由a＞b＞c＞d，利用不等式的性质就可以估计d的取值范围了。解：设此四个正整数分别为：a、b、c、d，且a＞b＞c＞d，依题意有即：则用这两个方程相减得：即a=18+d又a＞b＞c＞d，则b≥d+2，C≥d+1由①式得：即：7+2d≤17，d≤5，由此得a=18+d≤23当a=23，b=7，c=6，d=5时，a取得最大值23说明：（1）本题也可以设这四个数的和为s，最小的数为x，最大的数为y，则前三个较大的数的平均数为，后三个较小的数的平均数为，也可以作类似的讨论。（2）用不等式求离散最值，如若a≤23，则a有最大值23，此时还要构造出（或求出）a、b、c、d的值，说明确实能取到23，注意这一步是必不可少的。例4如图，一个边长为10厘米的正方形ABCD，在两边AB和AD上分别有点E和点F，AE=5厘米，AF=6厘米，请你在BC或CD边上选一点，并与原有的两点连成一个三角形，使三角形的面积尽可能地大，求这个三角形面积的最大值。分析：先假设所求的点G在BC边上，并设BG=x厘米，直接求△EFG的面积比较困难，因此可由已知条件可用正方形的面积减去△AEF、△BEG与梯形FGCD的面积之和。△EFG的面积=类似地可...
