第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿一莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。§51定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数yf(x)在区间［ab］上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边［x.x.］上任取一点i1.边梯形(i12Af(i)~f(2—2f(n)xn型f(何i=1max{xix2趋于零相当于令求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间［ab］中任意插入若干个分点axxxxxb012n1n把［ab］分成n个小区间[xx][xx][xx][xx]011223n1n它们的长度依次为xxxxxxxxx110221nnn1经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间以［x.x.］为底、f(.)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲i1iin)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记x}于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度n所以曲边梯形的面积为A=lim为f(g.)Ax.九*i=1112变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔［TT］±t的连续函数且v(t)012在时间间隔T2］内任意插入若干个分把TJ分成n个小段[t0[t1t2][各小段时间的长依次相应地在各段时间内物体经过的路程依次为在时间间隔［t.t］上任取一个时刻.(t.i1i■■来代替［t…t.］上各个时刻的速度得到部分路程t.)iiS.的近似值.时刻的速度v(.)S.v(.)t,(i12iiin于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似Su为v(T)At求精确值记max{tt12t}当0时取上述和式的极限即得计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔［TT］分成n个小的时间间隔t在每个小的时间间隔t内物12ii体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔t内某点.的速度v(.)物体iii在时间间隔t内运动的距离近似为S.v(.)t把物体在每一小的时间间隔tiIIIi内运动的距离加起来作为物体在时间间隔［TT］内所经过的路程S的近似值具体做法是12(1)用分点[x°x」[x1x%x』[x]记x.x.x.(i12(2)任[xi]以[X.xi］为底的小曲边梯形的面积可近fG)Ax(iiin所求曲边梯形面积A的近似值⑶记max{x1x2x}所以曲边梯形面积的精确值为A=lim变速直线运动的路程S=lim为v(T)At—o=111设函数yf(x)在区间［ab］上非负、连续求直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积b把区间［ab］分成n个小区间A正fG)Axiii=1区fG)Axiii=1设物体作直线运动已知速度Vv(t)是时间间隔［TT］±t的连续函数12且v(t)0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点TtttttT把时间间隔［TT］分成n个小时间1012n1n212段［tt］［tt］［tt］记ttt(i120112n1niii1n)(2)任取.［tt］在时间段［tt］内物体所经过的路程可近似％v(.)tiilii1iii(i12n)所求路程S的近似值为SQ工v(T)Atiii=1⑶记max{t}所求路程的精确值为nS=lim九T0区V(T)Atiii=1二、定积分定义抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数f(x)在3b］上有界在［aaxxx012把区间［ab］分成n个小区间[xx][xx]0112各小段区间的长依次为xx11xxxx022b］中任意插入若干个分点xxbn1n[xx]n1n在每个小区间［x.x］上任取一个点.(X.i1iii1度x的乘积xxxnnn1X.)作函数值f(.)与小区间长iii根据定积分的定a曲边梯形的面积为A=Jbf(x)dxx(i12n)并作出和f(.)其中f(X)叫做被积函数f(x)dx叫做被积...
