第2章刚体定轴转动2.28质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．解：设圆柱体的高为H，其体积为V=π(R22–R12)h，体密度为ρ=M/V．在圆柱体中取一面积为S=2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为dV=Sdr=2πrHdr，其质量为dm=ρdV，绕中心轴的转动惯量为dI=r2dm=2πρHr3dr，总转动惯量为．2.29一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：（1）薄板对OX轴的转动惯量为；（2）薄板对OZ轴的转动惯量为．证：薄板的面积为S=ab，质量面密度为σ=M/S．（1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS=ady，其质量为dm=σdS，绕X轴的转动惯量为dIOX=y2dm=σay2dy，积分得薄板对OX轴的转动惯量为．同理可得薄板对OY轴的转动惯量为．（2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为dS=bdx，质量为dm=σdS，绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量dIO`Z`=b2dm/12．根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为dIOZ=x2dm+dIO`Z`=σbx2dx+b2dm/12，积分得薄板对OZ轴的转动惯量为．方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ=r2dm．由于r2=x2+y2，所以dIOZ=(x2+y2)dm=dIOY+dIOX，因此板绕OZ轴的转动惯量为．2.30一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量．解：半圆的长度为C=πR，质量的线密度为λ=M/C．在半圆上取一1R1R2OO`H图2.28aObXYZ图2.29aObXYZZ`O`yxrθAA`R图2.30弧元ds=Rdθ，其质量为dm=λds，到AA`轴的距离为r=Rsinθ，绕此轴的转动惯量为dI=r2dm=λR3sin2θdθ，半圆绕AA`轴的转动惯量为2.31如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．解：大圆的面积为S=πR2，质量的面密度为σ=M/S．大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM=MR2/2．小圆的面积为s=πr2，质量为m=σs，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC=mr2/2，根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为Im=IC+m(R/2)2．，剩余部分的转动惯量为．2.32飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．（1）设F=100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？解：设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，在力矩平衡时有0.5N`–1.25F=0，所以N`=2.5F=250(N)．闸瓦对飞轮的压力为N=N`=250(N)，与飞轮之间摩擦力为f=μN=100(N)，摩擦力产生的力矩为M=fR．飞轮的转动惯量为I=mR2/2，角加速度大小为β=-M/I=-2f/mR=-40/3(rad·s-2)，负号表示其方向与角速度的方向相反．飞轮的初角速度为ω0=30π(rad·s-1)．根据公式ω=ω0+βt，当ω=0时，t=-ω0/β=7.07(s)．再根据公式ω2=ω02+2βθ，可得飞轮转过的角度为θ=-ω02/2β=333(rad)，转过的圈数为n=θ/2π=53r．[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．（2）当t=2s，ω=ω0/2时，角加速度为β=-ω0/2t=-7.5π．2OrRr图2.31O0.50F0.75图2.32力矩为M=-Iβ，摩擦力为f=M/R=-mRβ/2=(7.5)2π．闸瓦对飞轮的压力为N=f/μ，需要的制动力为F=N/2.5=(7.5)2π=176.7(N)．2.33一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力F=98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I=0.5kg·m2，轴承无摩擦．求（1）飞轮的角加速度．（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．（3）将重力P=98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．解：（1）恒力的力矩为M=Fr=19.6(N·m)，对飞轮产生角加速度为β=M/I=39.2(rad·s-2)．（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为θ=s/r=25(rad)，由于飞轮开始静止，根据公式ω2=2βθ，可得角速度为=44.27(rad·s-1)；飞轮的转动动能为Ek=Iω2/2=490(J)．方法二：用动力学定理．拉力的功为W=Fs=490(J)，根据动能定理，这就...
