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第2章刚体定轴转动2.28质量为M的空心圆柱体,质量均匀分布,其内外半径为R1和R2,求对通过其中心轴的转动惯量.解:设圆柱体的高为H,其体积为V=π(R22–R12)h,体密度为ρ=M/V.在圆柱体中取一面积为S=2πRH,厚度为dr的薄圆壳,体积元为dV=Sdr=2πrHdr,其质量为dm=ρdV,绕中心轴的转动惯量为dI=r2dm=2πρHr3dr,总转动惯量为.2.29一矩形均匀薄板,边长为a和b,质量为M,中心O取为原点,坐标系OXYZ如图所示.试证明:(1)薄板对OX轴的转动惯量为;(2)薄板对OZ轴的转动惯量为.证:薄板的面积为S=ab,质量面密度为σ=M/S.(1)在板上取一长为a,宽为dy的矩形元,其面积为dS=ady,其质量为dm=σdS,绕X轴的转动惯量为dIOX=y2dm=σay2dy,积分得薄板对OX轴的转动惯量为.同理可得薄板对OY轴的转动惯量为.(2)方法一:平行轴定理.在板上取一长为b,宽为dx的矩形元,其面积为dS=bdx,质量为dm=σdS,绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量dIO`Z`=b2dm/12.根据平行轴定理,矩形元对OZ轴的转动惯量为dIOZ=x2dm+dIO`Z`=σbx2dx+b2dm/12,积分得薄板对OZ轴的转动惯量为.方法二:垂直轴定理.在板上取一质量元dm,绕OZ轴的转动惯量为dIOZ=r2dm.由于r2=x2+y2,所以dIOZ=(x2+y2)dm=dIOY+dIOX,因此板绕OZ轴的转动惯量为.2.30一半圆形细杆,半径为R,质量为M,求对过细杆二端AA`轴的转动惯量.解:半圆的长度为C=πR,质量的线密度为λ=M/C.在半圆上取一1R1R2OO`H图2.28aObXYZ图2.29aObXYZZ`O`yxrθAA`R图2.30弧元ds=Rdθ,其质量为dm=λds,到AA`轴的距离为r=Rsinθ,绕此轴的转动惯量为dI=r2dm=λR3sin2θdθ,半圆绕AA`轴的转动惯量为2.31如图所示,在质量为M,半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔.圆孔中心在圆盘半径的中点.求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.解:大圆的面积为S=πR2,质量的面密度为σ=M/S.大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM=MR2/2.小圆的面积为s=πr2,质量为m=σs,绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC=mr2/2,根据平行轴定理,绕大圆轴的转动惯量为Im=IC+m(R/2)2.,剩余部分的转动惯量为.2.32飞轮质量m=60kg,半径R=0.25m,绕水平中心轴O转动,转速为900r·min-1.现利用一制动用的轻质闸瓦,在剖杆一端加竖直方向的制动力,可使飞轮减速.闸杆尺寸如图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.(1)设F=100N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?这段时间飞轮转了多少转?(2)若要在2s内使飞轮转速减为一半,需加多大的制动力F?解:设飞轮对闸瓦的支持力为N`,以左端为转动轴,在力矩平衡时有0.5N`–1.25F=0,所以N`=2.5F=250(N).闸瓦对飞轮的压力为N=N`=250(N),与飞轮之间摩擦力为f=μN=100(N),摩擦力产生的力矩为M=fR.飞轮的转动惯量为I=mR2/2,角加速度大小为β=-M/I=-2f/mR=-40/3(rad·s-2),负号表示其方向与角速度的方向相反.飞轮的初角速度为ω0=30π(rad·s-1).根据公式ω=ω0+βt,当ω=0时,t=-ω0/β=7.07(s).再根据公式ω2=ω02+2βθ,可得飞轮转过的角度为θ=-ω02/2β=333(rad),转过的圈数为n=θ/2π=53r.[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π.(2)当t=2s,ω=ω0/2时,角加速度为β=-ω0/2t=-7.5π.2OrRr图2.31O0.50F0.75图2.32力矩为M=-Iβ,摩擦力为f=M/R=-mRβ/2=(7.5)2π.闸瓦对飞轮的压力为N=f/μ,需要的制动力为F=N/2.5=(7.5)2π=176.7(N).2.33一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘,以恒力F=98N拉绳,如图(a)所示.已知飞轮的转动惯量I=0.5kg·m2,轴承无摩擦.求(1)飞轮的角加速度.(2)绳子拉下5m时,飞轮的角速度和动能.(3)将重力P=98N的物体挂在绳端,如图(b)所示,再求上面的结果.解:(1)恒力的力矩为M=Fr=19.6(N·m),对飞轮产生角加速度为β=M/I=39.2(rad·s-2).(2)方法一:用运动学公式.飞轮转过的角度为θ=s/r=25(rad),由于飞轮开始静止,根据公式ω2=2βθ,可得角速度为=44.27(rad·s-1);飞轮的转动动能为Ek=Iω2/2=490(J).方法二:用动力学定理.拉力的功为W=Fs=490(J),根据动能定理,这就...

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