解题目1证明题容易证明—Jx(x一t)f'(t)dt=f(x)一f(a)dxa解答Jx(x-1)f'(t')dt=Jx(x-t)df(t)ax=(x-1)f(t)+Jxf(t)dt=(a-x)f(a)+Jxf(t)dta=.•上Jx(x-1)f'(t)dtdxa=-f(a)+f(x)=f(x)-f(a)。题目2证明题容易利用积分中值定理证明：limJ4sinnxdx=0。nT00解答_由积分中值定理在［0,R上存在总,使=-limsinng4nT0Q00F'(x)<0xe(a,b)。题目29证明题一般试证：如果f(x)在[a,b]上连续，且对于一切xe[a,b],f(x)>0同时至少存在一点Ee[a,b]，使f(E)>0,则fbf(x)dx>0。a解答_证明：由f(x)在E点连续，且f(E)>0，Ee[a,b]则存在6>0,当xe(E-5,E+5)时，有f(x)>0于是卜f(x)dx>fE+5f(E)dx=26f(E)>0aE-6fbf(x)dx>0。a题目30证明题一般试证fbf(c—x)dxJ-af(x)dx。解答令t=c-x则x=c-1,dx=-dt且x=a时,t=c-ax=b日寸,t=c-b=Jc-bf(t)(-dt)c-a-Jc-bf(t)dtc-a=Jc-af(x)dx>c-b题目31证明题一般设函数f(x)在［0,1］上可微，且满足等式:f(1)-2J2xf(x)dx=00试证在(0,1)内至少存在一点P,使f'(g)=-烂。解答_由于/(1)-2J2xf(x)dx=00则由积分中值定理，有ge［0,-］,使12f(1)-2•1・gf(g)=0成立,即f(1)-gf(g)=021111令F(x)=xf(x),贝l」F(g1)=F(1)；对函数F(x)在［g,1］上用罗尔定理，有1F代)=0,ge(g,l)u(0,1)1即gf'(g)+f(g)=0,gu(0,1)•••f'(g)=-字gu(0,1)。g题目32证明题一般设f(x)在［a,b］上连续，并且对于每一个在［a,b］上的连续函数g(x).都有Jbg(x)f(x)dx=0a证明：f(x)=0(a0由于f(x)在x处00连续，故对£二f(xo)存在§>0.02当x-x<6时,即在区间(x-§,x+§)内,有000阿-叫|<斗2.从而f(x)>竺2>02构造连续函数g(x)如下：0xG[a,x-6]U[(x+6,b]g(x)=〈00h(x)xG(x-6.x+6)00其中h(x)>0.xG(x-6.x+6)且00limh(x)=limh(x)=0x^x0-6)+xT(x0+6)-.•.Jbg(x)f(x)dxa=Jx0+6h(x)f(x)dx>丄Jx0+6h(x)dx>0x0-62x0-6这与题设矛盾故f(x)三0a
