1．11函数模型及其应用考点梳理1.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性_____________________增长速度__________________相对平稳增函数增函数增函数越来越快越来越慢图象的变化随x增大逐渐表现为与_______平行随x增大逐渐表现为与_______平行随n值变化而不同y轴x轴2.函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度比较(1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时有________.快于ax＞xn(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有logax＞xn，但由于y＝logax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x＞x0时，__________.(3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们____________不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，有________________.logax＜xn增长速度ax＞xn＞logax考点自测1.下列函数中，随x的增大而增大，速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x解析：因指数函数型增长快，又e＞2，则应选A.答案：A2．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案D.答案：D3．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为()A．10%B．12%C．25%D．40%解析：利润300万元，纳税300·p%万元．年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p%万元．共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，∴p%＝14＝25%.答案：C4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为at，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.解析：由于2009年的垃圾量为at，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b)t．同理，可知2011年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量为a(1＋b)5t.答案：a(1＋b)a(1＋b)55．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是__________．解析：总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.故当Q＝300时，总利润最大值为2500万元.答案：2500万元疑点清源1.常见函数模型的理解(1)直线模型，即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x系数k＞0)，通过图象可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a＞1)，常形象地称之为“指数爆炸”．说明：指数函数y＝ax(a＞1)，从图象上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大的惊人，因此常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a＞1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随xn中n的取值变化而定，常见的有二次函数模型．2．构建函数模型的基本步骤不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产、生活、科技中很多实际问题．解决应用问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型．(2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识，...
