操作与探究1、（13年北京5分22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为__________。解析：考点：操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）2、（2013成都市）如图，，为⊙上相邻的三个等分点，弧，点在弧上，为⊙的直径，将⊙沿折叠，使点与重合，连接，，.设，，.先探究三者的数量关系：发现当时，.请继续探究三者的数量关系：当时，_______；当时，_______.（参考数据：，）答案：；或解析：3、（2013山西，21，8分）（本题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。【解析】解：①作图正确，并有痕迹。②连接BE并延长交AM于点F。（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。【解析】解：AF∥BC且AF=BC理由如下： AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C由作图可知：∠DAC=2∠FAC∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC. E是AC的中点，∴AE=CE, ∠AEF=∠CEB∴△AEF≌△CEB∴AF=BC.4、（13年山东青岛、23）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果bbaaabba第23题图①第23题图②4043473740第23题图③归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【研究方程】提出问题：怎么图解一元二次方程?)0(03522xxx几何建模：（1）变形：35)2(xx（2）画四个长为2x，宽为x的矩形，构造图④（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，2)2(xx或四个长2x，宽x的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积即：222)2(4)2(xxxx 35)2(xx∴222354)2(xx∴144)22(2x 0x∴5x归纳提炼：求关于x的一元二次方程)0.0,0()(cbxcbxx的解要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎么运用矩形面积表示)3)(2(yy与52y的大小关系（其中0y）？几何建模：（1）画长3y，宽2y的矩形，按图⑤方式分割（2）变形：)3()2(52yyy（3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为x+2xxx+2xx+2x+2x第23题图④11y111y第23题图⑤)3)(2(yy；阴影部分面积可以表示为1)3(y，画点部分的面积可表示为2y，...
