北师大版高中数学4-5同步测试：2.3.1数学归纳法1/9§3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法课后篇巩固探究A组1.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+(2n+1)=(n+1)·(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式为()A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4解析:当n=1时左边有2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.答案:C2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k≥1且为奇数)时命题为真,则还需证明()A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2(k+2)时命题成立解析:因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立,又k的下一个奇数是k+2,故选B.答案:B北师大版高中数学4-5同步测试：2.3.1数学归纳法2/93.用数学归纳法证明12+22+⋯+(n-1)2+n2+(n-1)2+⋯+22+12=时,由n=k(k≥1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是()A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.(k+1)[2(k+1)2+1]解析:当n=k(k≥1)时,左边为12+22+⋯+(k-1)2+k2+(k-1)2+⋯+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+⋯+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+⋯+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.答案:B4.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N+,n≥1)时,命题成立,即3(2+7k)能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除,即当k=n+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N+都成立.答案:D北师大版高中数学4-5同步测试：2.3.1数学归纳法3/95.用数学归纳法证明:1-+⋯+-+⋯+,第一步应验证的等式是.解析:当n=1时,等式的左边为1-,右边=,所以左边=右边.答案:1-6.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为.解析:由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.答案:f(n)+n-17.若s(n)=1++⋯+-(n∈N+),则s(5)-s(4)=.解析:依题意,s(5)=1++⋯+,s(4)=1++⋯+,于是s(5)-s(4)=.答案:8.已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被36整除,结论成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,结论成立,即f(k)=(2k+7)×3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9=(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).因为3k-1-1(k∈N+,k≥2)是2的倍数,所以18(3k-1-1)能被36整除,即当n=k+1时,结论也成立.根据(1)和(2),可知对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)×3n+9能被36整除.北师大版高中数学4-5同步测试：2.3.1数学归纳法4/99.用数学归纳法证明:12-22+32-42+⋯+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即12-22+32-42+⋯+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.则当n=k+1时,12-22+32-42+⋯+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·-=(-1)k·.因此当n=k+1时,等式也成立,根据(1)(2)可知,对于任何n∈N+等式成立.10.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且+2an=4Sn.(1)计算a1,a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.解(1)当n=1时,+2a1=4S1,即+2a1=4a1,即-2a1=0,解得a1=2(a1=0舍去);当n=2时,+2a2=4S2,即+2a2=4(2+a2),即-2a2-8=0,解得a2=4(a2=-2舍去);当n=3时,+2a3=4S3,即+2a3=4(2+4+a3),即-2a3-24=0,解得a3=6(a3=-4舍去);当n=4时,+2a4=4S4,即+2a4=4(2+4+6+a4),即-2a4-48=0,解得a4=8(a4=-6舍去).北师大版高中数学4-5同步测试：2.3.1数学归纳法5/9由以上结果猜想数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N+).(2)下面用数学归纳法证明{an}的通项公式为an=2n(n∈N+).①当n=1时,a1=2,由(1)知,结论成立.②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即ak=2k,这时有+2ak=4Sk,即Sk=k2+k.则当n=k+1时,+2ak+1=4Sk+1,即+2ak+1=4(Sk+ak+1),所以-2ak+1=4k2+4k,解得ak+1=2k+2=2(k+1)(ak+1=-2k舍去).故当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,结论对任意n∈N+都成立.B组1.用数学归纳法证明“1+2+22+⋯+2n+2=2n+3-1(n∈N+)”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为()A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23解析:当n=1时,左边为1+2+22+23.答案:D...
