东大高数2011—2012 学年第2学期答案VIP免费

1高等数学①(二)参考答案2012.7.12一、单项选择题（每题4分，共16分）1．D；2．B；3．D；4．A..二、填空题（每题4分，共16分）1．314384xyz；2．yydxyxfdy211102),(；3．2a7；4．32.三、计算下列各题(56=30分)1．已知yxeyxfu,22，其中f具有二阶连续偏导数，求yxuxu2，.解122exyuxffx，122exyuyffy.………………………………….3分21112221222[(2)e]ee[(2)e]xyxyxyxyuxfyfffyfxy22111222242()eeexyxyxyxyfxyfff.…………………….6分2．计算(23)xyzdv，是半球面222zxy和旋转抛物面22zxy围成的立体.解(23)xyzdv=zdv……………………………….2分=2221200rrdrdrzdz………………………………4分=124012[(2)]2rrrdr=712.……………………………….6分3．求平行于平面6x+y+6z+5=0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程.解设所求平面方程为6x+y+6z=D,则1||1666DDD|D|=6故所求平面方程为6x+y+6z=6或6x+y+6z=6.4．求幂级数112112)1(nnnxn的收敛域与和函数.解212121(1)21()lim1(1)21nnnnnxnxxxn，即|x|<1x=1时，112)1(nnn收敛，故收敛域为[1,1].21211(1)()21nnnsxxn12101(1)21nxnnxdxn201arctan1xdxxx.(|x|1).5．求()xyzdS，式中是平面y+z=5被柱面2225xy所截得的有限部分.解()xyzdS=(5)xdS=22225(5)1(1)xyxdxdy=1252.四、(8分)计算积分32Ixdydzydzdxzdxdy，是柱面x2+y2=a2在0zh部分的外侧.解设1：z=0(x2+y2a2)下侧；2：z=h(x2+y2a2)上侧12123232Ixdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy2222222(321)0xyaxyaxydxdydzdxdyhdxdy2222203hxyaxdxdydzdxdydzah22222223()2xyahxydxdyahah234003324ahdrdrah.五、(8分)在抛物线1:22yxz上求一点),,(0000zyxM)1,0,0(202000yxyx使在0M处的切平面与柱面21xy及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大.解过0M点的切平面方程为2x0(x–x0)+2y0(y–y0)–(z–z0)=0即122202000yxzyyxx立体的体积为220000(221)DVxxyyxydxdy1,0,0:22yxyxD2200002()(1)34Vxyxy。002032xVx，002032yVy，故所求的点为24432(,,1)339.六、(8分)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2=4到点(0,2)的曲线段。3计算曲线积分233(2)LIxydxxxydy.解补充L1：x=0,y从2到0，由L和L1围成的平面区域记为D，由格林公式1123233(2)3(2)LLLIxydxxxydyxydxxxydy02(2)Ddxdyydy42.七、(8分)设an>0(n=0,1,2,),数列{an}单调减少，级数1(1)nnna发散，判断级数11()1nnna的敛散性。解由题设an>an+1，若lim0nna，则交错级数1(1)nnna收敛，与题设矛盾，故limnnal(l>0).由根值法，有11lim111nnnnal，故级数收敛.八、(6分)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离成正比(比例常数k>0)，求球体对于P0的转动惯量。解以P0点为坐标原点，球心在z轴上建立坐标系，则球面方程为x2+y2+z2=2Rz.转动惯量为32222()Ikxyzdxdydz22cos322000sinRkddrrdr62012sin(2cos)6kRd66421kR.