第10讲四边形（二）1．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质.2．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题.复习目标1．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分.2.三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质.知识要点例1如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数.分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解.答案：45°典型例题ABCDEO例2如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，过O分别作各边的垂线，垂足分别为E、F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形.分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分成的四个三角形是全等的直角三角形，而OE、OF、OH、OG都是直角三角形斜边上的高，故OE=OF=OG=OH，即证明四边形EFGH是矩形.证明： 四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD，OD=OB，OA=OC且AC⊥BD∴Rt△AOD≌Rt△AOB≌Rt△COD≌Rt△COB OE、OF、OG、OH分别是三角形斜边上的高∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是矩形典型例题OHABCDEFG例3如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．证明： ∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF． AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠AGE．∴∠CEA=∠AGE．∴AE=AG．∴EF∥AG，且EF=AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又 AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．典型例题ABCDEFG例4已知：如图，O为ABCD对角线BD的中点，MN过O且垂直BD，分别交CD、AB于M、N．求证：四边形DNBM是菱形．分析：已知MN为BD的垂直平分线，有DM=BM，DN=BN，又由△DOM≌△BON，得DM=BN，即由四条边都相等的四边形是菱形可证得结论.证明： MN为BD的垂直平分线∴DM=BM，DN=BN又 △DOM≌△BON∴DM=BN，∴DM=BM=BN=DN．∴四边形DNBM是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）典型例题ABCDONM例5如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H.求证：AH＝AD.分析：因为A是DG的中点，故在△DGH中，若AH＝AD，当且仅当△DGH为直角三角形，所以只须证明△DGH为直角三角形.典型例题GABCDEFH例6如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若∠PAQ＝450，求证：PB＋DQ＝PQ.分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明.典型例题ABCDEPQ一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为.2、已知菱形的锐角是60°，边长是20cm，则较短的对角线长是cm.3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝cm，则DE＝cm.能力训练3ABCDEO4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝.5、如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF＝.能力训练ACDBPBFACDE6、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE＝AC，AE与CD边相交于F点，那么CE∶FC＝.7、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝，则正方形移动的距离是.能力训练2ACFBDEBDD`C`ACB`A`8、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA.其中能判断它是正方形的题设条件是（把正确的序号填在横线上）.能力训练二、选择题：9、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（）A、仅能作一个B、可以作四个C、一般情况下不可作D、可以作无穷多个能力训练10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从...
