空间向量复习课VIP免费

平行、垂直问题。求证：CAAB11A1C1B1ABC11111BCABCBAABC中，若正三棱柱例例11xyzOyzx证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：1,DADCDD�以，1(1,0,0)(1,1,,)2DADE�，A1xD1B1ADBCC1EFCD中点，求证：D1F1111DCBAABCD在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE11(0,,1)2DF�又因为所以1DFADE平面例例220;011FDDEFDDA且由n·AB1→＝0，n·B1C→＝0知y＋z＝0，－x－z＝0，即y＋z＝0，x＋z＝0.∴BD1→＝－n.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，证明：BD1⊥平面ACB1.练习：【证明】如图建系，设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)、D1(0,0,1)、A(1，0,0)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)．设平面ACB1的法向量为n＝(x，y，z)． AB1→＝(0,1,1)，B1C→＝(－1,0，－1)．令x＝1得z＝－1，y＝1.∴n＝(1,1，－1)． BD1→＝(－1，－1,1)，∴BD1⊥平面ACB1.空间角问题例5、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为求AC1和CB1的夹角，2aABCA1B1C1分析：求异面直线的夹角解法步骤：1、写出异面直线的方向向量的坐标。2、利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。131(,,2)22ACaaa�131(,,2)22CBaaa�21111211312cos,32||||aACCBACCBaACCB���∴AC1和CB1的夹角为：3xyZDABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6,2,6(M可得由,51NA)3,4,0(N).3,4,0(),6,2,6(NAMA由的法向量设平面),,,(zyxn00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例6：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADABABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34,1,1(n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD�又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|||||||sin|nDAnDA在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例6：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADAB,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面例：角的余弦值四ABCDSxzyA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2��SBAnAD易知面的法向量11(1,,0),(0,,1)22�CDSD2(,,),�SCDnxyz的法向量22,,�nCDnSD由得：设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1)�n任取1212126cos,3||||nnnnnn���63即所求二面角得余弦值是例7空间距离问题思考题:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，（1）求点B到平面EFG的距离.（2）求直线BD到平面EFG的距离DABCGFExyz例8DABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG�设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyz思考题:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.nEFnEG��，|BE|211.11ndn��2202420xyxy11(,,1),33nB(2,0,0)E�答:点B到平面EFG的距离为21111.例(用向量法求距离):如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,、MN分别是、ADPB的中点,求点A到平面MNC的距离.APDCBMN练习.设(,,)nxyz为平面MNC的一个法向量,∴,nMNnMC��∴2(,,0)2MCaa�,11(0,,)22MNaa�,2(,0,0)2MAa�解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)2aa2aaa 、MN分别是、ADPB的中点,∴2(,0,0)2Ma211(,,)222Naaa∴202nMCaxay��且022aanMNyz��解得22xyz,∴可取(2,1,1)m�∴MA�在n上的射影长2MAnadn�即点A到平面MNC的距离为2a.APDCBMNzxy注意：等体积法求距离nabCDAB已知a,b是异面直线，nCD的方...