【初高中】四川省南江四中高一数学衔接教材 几种特殊的三角形VIP专享VIP免费

]四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例5在ABC中，3,2.ABACBC求（1）ABC的面积ABCS及AC边上的高BE；（2）ABC的内切圆的半径r；（3）ABC的外接圆的半径R.解（1）如图，作ADBC于D.,ABACD为BC的中点，2222,122222.2ABCADABBDS又1,2ABCSACBE解得423BE.（2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连,,IAIBIC，ABCIABIBCIACSSSS，即11122222ABrBCrCAr，解得22r.（3）ABC是等腰三角形，外心O在AD上，连BO，则RtOBD中，,ODADR222,OBBDOD222(22)1,RR解得92.8R用心爱心专心1在直角三角形ABC中，AÐ为直角，垂心为直角顶点A，外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为2bca+-（其中,,abc分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：222ACABBC+=.例6如图，在ABCV中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：22APABPBPC=-×.证明：过A作ADBC^于D.在RtABDV中，222ADABBD=-.在RtAPDV中，222APADDP=-.22222()().APABBDDPABBDDPBDDP\=-+=-+-,,ABACADBCBDDC=^\=Q.BDDPCDDPPC\-=-=.22APABPBPC\=-×.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为123,,hhh，三角形ABC的高为h，“若点P在一边BC上，此时30h=，可得结论：123hhhh++=.”用心爱心专心2图3.2-15请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在ABCV内（如图b），（2）点在ABCV外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,hhh与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解（1）当点P在ABCV内时，法一如图，过P作''BC分别交,,ABAMAC于',','BMC，由题设知'AMPDPE=+，而'AMAMPF=-，故PDPEPFAM++=，即123hhhh++=.法二如图，连结，ABCPABPACPBCSSSS=++VVVVQ，11112222BCAMABPDACPEBCPF\×=×+×+×，又ABBCAC==，AMPDPEPF\=++，即123hhhh++=.（2）当点P在ABCV外如图位置时，123hhhh++=不成立，猜想：123hhhh+-=.注意：当点P在ABCV外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，123hhhh-+=，123hhhh--=（如图3.2-18，想一想为什么？）等.在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.练习：1．直角三角形的三边长为3，4，x,则x=________.2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.3．已知直角三角形的周长为33，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.用心爱心专心34．证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题A组1．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为。2．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.3．已知：,,abc是ABC的三条边，7,10ab，那么c的取值范围是_________。4．若三角形的三边长分别为18a、、，且a是整数，则a的值是_________。5.如图，等边ABC的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则CDE的周长为（）A．643B．18123C．623D．18436.如图，在ABC中，2CABCA，BD是边AC上的高，求DBC的度数。7．如图，,90,oRtABCCM是AB的中点，AM=AN，MN//AC，求证：MN=AC。用心爱心专心4B组1．如图，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC.求:BC的值。2．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且14ECBC=，求证：90oEFAÐ=.3.如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与12之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．12AB．212AC．312AD．32(12)A4.如图，在等腰RtABC中90oC，D是斜边AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H，交AE于G.求证：BD=CG.用心爱心专心5