2.5《平面向量应用举例》教学设计【教学目标】1.通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法,可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题;2.通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探究意识,培养创新精神.【导入新课】回顾提问:(1)若O为ABC重心,则OA�+OB�+OC�=0.(2)水渠横断面是四边形ABCD,DC�=12AB�,且|AD�|=|BC�|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?教师:本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤,已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.新授课阶段探究一:(1)向量运算与几何中的结论"若ab,则||||ab,且,ab所在直线平行或重合"相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.教师:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来:例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图:平行四边行ABCD中,设AB�=a,AD�=b,则ACABBCab�(平移),DBABADab�,222||ADbAD�(长度).向量AD�,AB�的夹角为DAB.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.把运算结果“翻译”成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说明向量方法在平面几何中的运用例1证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知:平行四边形ABCD.1求证:.分析:用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,我们常常要考虑向量的数量积.注意到,,我们计算和.证明:不妨设a,b,则a+b,a-b,|a|2,|b|2.得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理,|a|2-2a·b+|b|2.②①+②得2(|a|2+|b|2)=2().所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.师:你能用几何方法解决这个问题吗?让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.师:由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,他把一个思辨过程变成了一个算法过程,可以按照一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题,主要是下面三个步骤:⑴建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;⑶把运算结果“翻译”成几何关系.变式训练:中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于点O,设(1)证明A、O、E三点共线;(2)用表示向量.例2如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?分析:由于R、T是对角线AC上两点,所以要判断AR、RT、TC之间2的关系,只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可.解:设a,b,则a+b.因为与共线,因此,存在实数m,使得=m(a+b).又因为与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).由=n,得m(a+b)=a+n(b-a).整理得a+b=0.由于向量a、b不共线,所以有解得所以.同理.于是.所以AR=RT=TC.说明:本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法,待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法.探究二:(1)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?(2)在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么?师:向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.例3在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?分析:上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚F、G、三者之间的关系(其中F...