2.5《平面向量应用举例》教学设计【教学目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.【导入新课】回顾提问：（1）若O为ABC重心,则OA�+OB�+OC�=0.（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC�=12AB�,且|AD�|=|BC�|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.新授课阶段探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若ab，则||||ab，且,ab所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD中，设AB�＝a,AD�＝b，则ACABBCab�（平移），DBABADab�，222||ADbAD�（长度）．向量AD�，AB�的夹角为DAB.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果“翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．1求证：．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到，，我们计算和．证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理,|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量.例2如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间2的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．解：设a，b，则a+b．因为与共线，因此，存在实数m，使得=m(a+b)．又因为与共线，因此存在实数n，使得=n=n(b-a)．由=n，得m(a+b)=a+n(b-a)．整理得a＋b＝0．由于向量a、b不共线，所以有解得所以．同理．于是．所以AR＝RT＝TC．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F...
