【初高中】四川省南江四中高一数学衔接教材 圆VIP专享VIP免费

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：圆设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离dr>时，直线和圆相离，如圆O与直线1l；当圆心到直线的距离dr=时，直线和圆相切，如圆O与直线2l；当圆心到直线的距离dr<时，直线和圆相交，如圆O与直线3l.在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB.且在RtOMAV中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有222()2ABrd-=.用心爱心专心1图1图2图3当直线与圆相切时，如图3，,PAPB为圆O的切线，可得PAPB，.OAPA，且在RtPOA中，222POPAOA.如图4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得PATPTB，因而2PTPAPB.例1如图5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是AB的中点，求弦BD的长度。解连结OD，交AB于点E。,BDADO是圆心，1,3.2ODBBEAEABcm在RtBOE中，OB=5cm,BE=3cm,224.OEOBBEcm5,1.ODcmDEcm在RtBDE中，BE=3cm,DE=1cm,10.BDcm例2已知圆的两条平行弦的长度分别为6和26，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.解设圆的半径为r，分两种情况（如图6）：用心爱心专心2图4图5图6（1）若O在两条平行线的外侧，如图（1），AB=6，CD=26，则由3OMON-=，得229243rr---=，解得5r=.（2）若O在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=26，则由3OMON+=，得229243rr-+-=，无解.综合得，圆的半径为5设圆1O与圆2O半径分别为,()RrRr，它们可能有哪几种位置关系？观察图7，两圆的圆心距为12OO，不难发现：当12OORr时，两圆相内切，如图7（1）；当12OORr时，两圆相外切，如图7（2）；当12OORr时，两圆相内含，如图7（3）；当12RrOORr时，两圆相交，如图7（4）；当12OORr时，两圆相外切，如图7（5）.例3设圆1O与圆2O的半径分别为3和2，124OO，,AB为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度.用心爱心专心3图7图8解连AB交12OO于C，则12OOAB，且C为AB的中点，设ACx，则22129,4,OCxOCx2212944OOxx，解得3158x.故弦AB的长为31524x.练习：1.如图9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm,⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。3.如图10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，1,5,60,oAEcmEBcmDEB求CD的长。用心爱心专心4图9图104．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.用心爱心专心5