3第7节空间曲线及其方程7.1空间曲线的方程1曲线的一般方程空间曲线可以看作是两张曲面与的交线（图7.1）．设与的方程分别是与。曲线的充要条件是的坐标满足方程组．(7.1)因此，(7.1)是曲线的方程，称为曲线的一般方程．例如表示柱面与平面的交线（图7.2）．z图7.2-2-1012Y-2-1012X-20246Z-2-1012Xx1zOy图7.1212离散数学【例7.1】以下方程分别表示怎样的曲线？(1)(2).解(1)方程组可化为,其中第一个方程表示中心在原点，半径为的上半球面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点为中心，半径为圆周的圆柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.3)．-101x-101y00.511.52z-101x-101y图7.3图7.4(2)方程组中第一个方程表示顶点在坐标原点,开口向上的旋转抛物面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点(0,2)为顶点，开口向下的抛物线的抛物柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.4)．-1-0.500.51X-1-0.500.51Y00.250.50.751Z-1-0.500.51X13第1章集合2曲线的参数方程空间曲线也可以用参数方程来表示。把曲线上的动点的坐标分别表示成参数的函数,(7.2)方程组(7.2)叫做曲线的参数方程．曲线的参数方程(7.2)的意思是：当参数跑遍时，动点正好跑遍曲线。当给定时，由(7.2)式就得到曲线上的一个点。12离散数学【例7.2】如果空间一点在圆柱面上以角速率绕轴旋转，同时又以线速率沿平行于轴的正方向上升，其中，都是常数，点的轨迹曲线叫螺旋线，试建立其参数方程．解取时间为参数,设当时，动点与轴上的点重合，经过时间，动点由运动到．记在面上的投影为．由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，经过时间，，从而.又由于动点同时以线速度沿平行于轴正方向上升，所以．因此，螺旋线的参数方程为.令，则方程形式可化为，（为参数）螺旋线是一种常见的曲线.比如螺丝钉的螺丝曲线就是螺旋线.MAOzyx图7.5Mt13第1章集合与平面曲线情形类似，参数方程消除参数t就得到一般方程；空间曲线的一般方程也可以化为参数方程．下面用例子说明曲线一般方程化为参数方程的方法。【例7.3】将空间曲线表示成参数方程．解由方程组消去得,变形得.由于在此椭圆柱面上，故的方程可用如下形式来表示.如果令，由椭圆柱面方程,有，而,则曲线又可表示成为.（如果以作为参数，即令,则,,从而得到曲线的参数方程,12离散数学且参数的取值范围为,即．）也可以把空间曲线的参数方程化为一般方程．,(7.2)(7.2)消除参数，例如，从(7.2)的第一个等式解出，再代入其他两个等式，就得到与(7.2)等效的一般方程13第1章集合7.2空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线为准线,母线平行于轴的柱面叫做对面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做在面的投影曲线.．(7.1)设空间曲线的一般方程由(7.1)给出。方程组(7.1)消去变量之后得到方程.(7.3)(7.1)与或是等效的，都是的方程。(7.3)是准线为，母线平行于轴的柱面，从而是对面的投影柱面.故，在面的投影曲线是(7.4)类似地，消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：.消去方程组(7.1)中的变量y,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：.12离散数学【例7.4】求曲线在面和面上的投影曲线方程．解先求包含曲线且母线平行于轴的柱面，从方程组中消去，得，将其代入第一个方程得到,这是曲线对面的投影柱面的方程．从而得曲线在面上的投影曲线,为一椭圆:.再由所给方程组消去.将两方程相减,得到曲线对面的投影柱面:,从而得曲线在面上的投影曲线:,（（从原方程组的第一个方程看出））它表示面上的一条直线段.如图7.6所示．思考题：1．试求例7.4中曲线在面上的投影曲线．图7.6-1012Y-1-0.500.51X-1012Z-1012Y-1012Y-1-0.500.51X-1012Z-1012Y13第1章集合有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域．利用投影柱面与投影曲线可以确定投影区域.【例7.5】求上半球面和锥面所围成的空间立体在面上的投影区域．解的边界（抓住边界！！）是上半球面与锥面的交线:在面上的投影。由方程组消去变量，有.这是母线平行于轴的投影柱面，在面...
