第22课时矩形、菱形、正方形【课时目标】1．理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系．2．探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理，会利用这些性质定理与判定定理进行计算与推理．【考纲要求】特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.【知识梳理】1．矩形的概念、性质和判定：(1)定义：有一个内角为_______的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形．(2)性质：由于矩形是特殊的平行四边形，所以它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：①矩形的四个角都是_______；②矩形的对角线________．(3)判定：①有一个角是_______的平行四边形是矩形；②四个角_______（或有三个角是_______）的四边形是矩形；③对角线_______的平行四边形是矩形．2．菱形的概念、性质和判定：(1)定义：一组邻边_______的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形．(2)性质：由于菱形是特殊的平行四边形，所以菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：菱形的四条边________，两条对角线_______，每一条对角线________．(3)判定：①一组邻边_______的平行四边形是菱形；②四条边_______的四边形是菱形；③对角线_______的平行四边形是菱形．3．正方形的概念、性质和判定：(1)定义：一组邻边_______的矩形叫做正方形．(2)性质：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，如：四个角都是_______；四条边都_______；两条对角线互相_______，每一条对角线_______等．(3)判定：①一组邻边_______且有一个角是_______的平行四边形是正方形；②有一个角是_______的菱形是正方形；③有一组邻边_______的矩形是正方形．【考点例析】考点一矩形的性质和判定【例1】如图△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE，1（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由.证明：（1） 点O为AB的中点，OE＝OD,∴四边形AEBD是平行四边形 AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC∴四边形AEBD是矩形（2）当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形. △ABC是等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBA＝45°∴BD＝AD.由（1）知四边形AEBD是矩形，∴四边形AEBD是正方形.【例2】如图，O是菱形ABCD对角线AC和BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm．过点C作C∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点F．(1)求OC的长；(2)求证：四边形OBEC为矩形：(3)求矩形OBEC的面积．提示(1)根据菱形的对角线互相垂直，得出BD⊥AC，再根据勾股定理求出OC的长；(2)根据CE∥OB，OC∥BE，易得出四边形OBEC是平行四边形，再由BD⊥AC可得出四边形OBEC是矩形；(3)矩形的面积＝长×宽，根据菱形的对角线互相平分可得出OB＝OD，OC已求出，故易求得矩形的面积．考点二菱形的性质和判定【例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为()A．75°B．65°C．55°D．50°提示由菱形的性质可以知道菱形的对角线互相垂直平分，得到∠AOB＝90°．由AB∥CD，得到∠BAD＝50°，再由菱形的对角线平分每一组对角，得到∠OAB＝25°，从而求出∠AOE的度数．2【例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A、B、C的对应点分别是D、E、F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．提示由题意，可知AD＝10cm，又由勾股定理，可得AC＝10cm．这样容易得到四边形ACFD的四边都等于10cm，从而得证．考点三正方形的性质和判定【例5】如图，正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_______．提示过点E作EF⊥CD于F，设对角线交点为O，可得到OE＝EF＝DF．设EF＝x，则DF＝x，且DE＝－x，利用勾股定理列出方程求解即可．【例6】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．(1)求证：DE＝DF；(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，...
