8.3---抛物线VIP免费

§8.3抛物线基础知识自主学习要点梳理1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.相等焦点准线2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx对称轴y=0x=0焦点离心率e=1准线方程范围开口方向向右向左向上向下焦半径0,2pF0,2pF2,0pF2,0pF2px2px2py2pyR,0yxR,0yxR,0xyR,0xy20pxPF20pxPF20pyPF20pyPF基础自测1.抛物线y=-2x2的准线方程是（）A.x=B.x=C.y=D.y=解析抛物线方程为x2=-y,∴p=,准线方程为y=.21218181D2141812.若a∈R,则“a＞3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的抛物线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由抛物线y2=(a2-9)x开口向右可得a2-9＞0，即得a＞3或a＜-3,∴“a＞3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.A3.（2009·湖南文，2）抛物线y2=-8x的焦点坐标是（）A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)解析 y2=-8x,∴p=-4,∴焦点坐标为(-2,0).B4.设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（）A.(a,0)B.(0,a)C.D.随a的符号而定解析抛物线标准方程为x2=y,当a＞0时，p=，焦点坐标为;当a＜0时，p=-，焦点坐标为a161,0Ca41a81a161,0a81.161,0a5.（2009·宁夏，海南理，13）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2）,则直线l的方程为.解析因为抛物线顶点在原点，焦点F（1，0），故抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则y=4x1,y=4x2.∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),∴kAB==1,∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.y=x2122214yy题型一抛物线的定义【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2）.（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；（2）求点P到点B的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.1,2121题型分类深度剖析（1）由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题.（2）把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决.解（1）将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.思维启迪6 ＞2,∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x，得x=2,∴点P坐标为（2，2）.（2）由于直线x=-即为抛物线的准线，故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号.而|BF|=∴|PB|+d的最小值为.6212727212.21212122探究提高重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是曲线y2=4x上的一个动点.（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），点F是抛物线的焦点，求|PB|+|PF|的最小值.知能迁移1解（1）如图所示，易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为：在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小.显然,连结AF交曲线于P点，故最小值为，即.1225（2）如图所示，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，连接P1F此时，|P1Q|=|P1F|，那么，|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值为4.题型二抛物线的标准方程及几何性质【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论.思维启迪解①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2...