1哈尔滨工业大学硕士研究生入学考试高等代数真题1、设向量112344，212344，312344，412344。证明：向量组1234,,,线性无关充要条件是1234,,,线性无关。2、设1234,,,是欧氏空间nR的一组标准正交基；12,,,k是nR中的任意k个向量，试证：12,,,k为标准正交向量组的充要条件是10,(,)(,)1,nisjssijij。3、设A是nn矩阵（2n），*A是A的伴随阵。证明：,()()1,()10,()1nrAnrArAnrAn。4、设A是nn矩阵。试证：（1）A的最小多项式是唯一的；（2）A的最小多项式是A的特征多项式的因子。5、已知(),()fxgx是数域P上两个次数大于零的多项式，且存在11(),()[]uxvxPx，使11()()()()1uxfxvxgx。问是否存在(),()[uxvxPx使()()()()1uxfxvxgx，其中(())((uxgx，(())(())vxfx。如果存在，这样的(),()uxvx是唯一的吗？6、设A是复数域上的方矩阵，如果A的特征值全为1，试证：1AA。7、已知,AB是两个n阶正定矩阵，判断下列结论是否正确，说明理由。（A）AB的特征值都大于零（B）AB的充要条件是1AB的特征值都是1（C）1AB正定（D）AB正定8、设是数域P上线性空间V的线性变换，W为的不变子空间，()[]fxPx。证明：(),ker()fWf也为的不变子空间，其中ker()f表示()f的核空间。9、设12,,,s是n维线性空间V的s个线性变换。证明：存在V的基底12,,,n，使得()0,1,2,,;1,2,,ijisjn。10、设多项式4()62[]fxxxQx，是()fx在复数域内的一个根。记2301230123[]{|,,,}QaaaaaaaaQ。证明：（1）()fx在有理数域Q上不可约；（2）对任意()[]gxQx，都有()[]gQ；（3）对任意()[]gxQx，如果()|()fxgx，则存在()[]hxQx使得()()1gh。
