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《二-用数学归纳法证明不等式》同步练习1VIP免费

《二-用数学归纳法证明不等式》同步练习1_第1页
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《用数学归纳法证明不等式举例》同步练习1一、选择题1.用数学归纳法证明:1+++…+1),第二步证明从“k到k+1”,左端增加的项数是().A.2k-1B.2kC.2k-1D.2k+1答案B2.用数学归纳法证明不等式1+++…+>成立时,起始值n0至少应取().A.7B.8C.9D.10解析1+++++…+=,n-1=6,n=7,故n0=8.答案B3.已知x∈R+,不等式x+≥2,x+≥3,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为().A.2nB.n2C.22(n-1)D.nn答案D4.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2亦成立,又若P(n)对n=2成立,则下列结论正确的是().A.P(n)对所有正整数n成立B.P(n)对所有正偶整数n成立C.P(n)对所有正奇整数n成立D.P(n)对所有比1大的自然数n成立答案B二、填空题5.用数学归纳法证明:1+++…+1),第一步要证明的不等式是____________________.答案n=2时,左边=1++=<2=右边6.用数学归纳法证明+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(k∈Z*,α≠kπ,n∈N+),在验证n=1时,左边计算所得的项是________.答案+cosα7.用数学归纳法证明:2n+1≥n2+n+2(n∈N*)时,第一步应验证________________________.答案n=1时,22≥12+12+2,即4=48.用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n∈N+,且n>1)时,第一步应验证不等式为________.答案1++<2三、解答题9.用数学归纳法证明:+++…+>1(n>1,n∈N*).证明(1)当n=2时,++==>1,即n=2时命题成立.(2)设n=k(k≥2)时,命题成立,即+++…+>1,当n=k+1时,左边=+…++>1+(2k+1)·-=1+.∵k>2,令f(k)=k2-k-1,对称轴为k=,∴(2,+∞)为t的增区间,∴f(k)>f(2),即k2-k-1>22-2-1=1,∴>0,∴n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,当n>1,n∈N*时,命题都成立.10.设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(n=1,2,3,…).(1)求a1、a2.(2)求数列{an}的通项公式.解(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,于是2-a2-a2=0,解得a2=.(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即S-2Sn+1-anSn=0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*)由(1)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.由(*)可得S3=.由此猜想Sn=,n=1,2,3,….下面用数学归纳法证明这个结论.①n=1时已知结论成立.②假设n=k时结论成立,即Sk=.当n=k+1时,由(*)得Sk+1=,即Sk+1=,故n=k+1时结论也成立.综上,由①②可知,Sn=对所有正整数n都成立.于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,又n=1时,a1==,所以{an}的通项公式为an=,n=1,2,3,….11.在数列{an}中,a1=2,an+1=+(n≥1).证明:成立.(1)当n=1时,a1=2>成立.(2)假设n=k(k≥1)时,ak>成立,当n=k+1时,由题意知ak+1=+≥2=,即ak+1≥,当且仅当=即ak=时,等号成立.这与ak>矛盾,所以只有ak+1>.由(1),(2)知,不等式an>(n∈N*)成立.其次,证明不等式an<+(n∈N*)成立.(1)当n=1时,a1=2<+=1+,即不等式成立.(2)假设n=k(k≥1)时,不等式ak<+成立.由题知,当n=k+1时,ak+1=+,由ak<+,得<+①由ak>,得<②由①,②得+<++=+,即ak+1<+=+<+,即ak+1<+成立.由(1),(2)得不等式an<+(n∈N*)成立.综上所述,

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