2.3.1抛物线及其标准方程如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长．问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长．问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等．定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的点的集合叫作抛物线焦点准线距离相等定点F定直线l抛物线的定义其中，焦点到准线的距离(定长p)叫作焦参数.已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A(3，0)，B(－3，0)，C(0，3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．提示：y2＝12x.向右．问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：y2＝－12x.向左．问题3：到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x2＝12y.向上．问题4：到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x2＝－12y.向下．图像标准方程焦点坐标准线方程x＝－x＝p2，0－p2，0p2p2y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y＝－y＝0，p20，－p2p2p2x2＝－2py(p＞0)x2＝2py(p＞0)1．平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的集合是抛物线，定点F不在定直线上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．例1已知抛物线的焦点是F(3，0)，写出它们标准方程.解：因为抛物线的焦点坐标是(3，0)，所以3,6.2pp得因此，所求的抛物线标准方程是y2=12x准线方程是x=-3.例2已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线标准方程以及焦点坐标和准线方程.解：由已知，得p=3.因此，所求的抛物线标准方程是y2=6x，焦点坐标是准线方程是3(,0),23.2x1．抛物线y＝－18x2的准线方程是()A．x＝132B．x＝12C．y＝2D．y＝4解析：抛物线标准方程为x2＝－8y，∴p＝4，故准线方程为y＝2.答案：C解析：抛物线标准方程为x2＝－103y，∴p＝53，故焦点为0，－56，准线方程为y＝56.2．抛物线3x2＋10y＝0的焦点坐标为________，准线方程是________．答案：0，－56y＝563．(2011·陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则拋物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x解析：由准线方程x＝－2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.答案：B4．抛物线的焦点为(0，－2)，则抛物线的标准方程为________．答案：x2＝－8y解析：由题意知抛物线标准方程为x2＝－2py且p2＝2，∴p＝4.∴抛物线标准方程为x2＝－8y.解：由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－p2. A到焦点的距离为5，∴A到准线的距离也是5，即3－－p2＝5，解得p＝4.故所求的抛物线标准方程为y2＝8x.5．已知焦点在x轴上，且抛物线上横坐标为3的点A到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6m时，水面宽10m，抛物线的方程可能是()A．x2＝－256yB．x2＝－2512yC．x2＝－365yD．x2＝－2524y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(5，－6)在抛物线上．25∴＝－2p(－6)，∴p＝2512.∴抛物线方程为x2＝－256y.答案：A7.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分(如图)，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点即抛物线的顶点与原点重合，x轴垂...
