《一元二次方程根与系数的关系》.4一元二次方程根与系数的关系VIP免费

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系人教版九年级上册朝天区李家乡小学喻紫法一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac≥0)一元二次方程的根是由系数完全决定的，这就说明了一元二次方程的根与系数有密切的关系。究竟有怎样的关系呢，今天就一起来探索它们深层的关系。一、悬念生疑：（1）x2-2x-3=0(2)x2+5x+6=0(4)x2-3x+1=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-2x-3=0x2+5x+6=0x2+2x-1=0-1+-1--2-1x2-3x+1=0313-1-32-2-5-36（3）x2+2x-1=02225325-3二、探索新知：问题2：观察上面表格中的计算结果，你能发现什么规律？问题3：运用你发现的规律填空：（1）已知方程x2-4x-7=0，它的根是x1、x2,则21xx.21xx.（2）已知方程x2+3x-5=0，它的根是x1、x2,则.21xx.21xx若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则21xx.ab21xx.ac问题4：已知方程x2+mx+n=0，它的根是x1、x2,则..21xx21xx问题5：请同学们分组来证明你们的猜想。问题6：方程5x2-3x-2=0的根与系数也有上述关系吗？问题7：此类方程的根与系数又有什么样的关系？aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242●=242)42(2)(aacbb=244aac=ac问题8：你能证明吗？证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则归纳:一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=ab-ac注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写。ab如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=.－Pq一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.说出下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-234134三、体验新知：例1、已知方程x2-2x+c=0的一个根是3,求它的另一个根及C的值.解：设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得3＋x2=2得x2=－1又因为3x2=C,所以C=-3.所以方程的另一个根是-1，C=-3例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：（1）;（2);•;(4).2221xx2111xx)1)(1(21xx21xx另外几种常见的求值:2111.1xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx21.4xx221)(xx212214)(xxxx1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：设方程的另一个根为x2,319则x2+1=,∴x2=,316又x2●1=,3m∴m=3x2=16解：由根与系数的关系,得x1+x2=-2,x1·x2=23∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=2325212xx21xx411412则：21xx2221xx221)(xx＝221)(xx221)(xx214xx＝求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.1.已知方程的两个实数根是且，求k的值.解：由根与系数的关系得x1+x2=-k，x1x2=k+2又x12+x22=4即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0∵△=K2-4k-8当k=4时，△=-8＜0∴k=4(舍去）当k=-2时，△=4＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2022kkxx2,1xx42221xx2.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2.（1）求实数m的取值范围；（2）当x12-x22=0时，求m的值.3.（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2,且│x1－x2│=2,求k的值.2、熟练掌握根与系数的关系；3、灵活运用根与系数关系解决问题.1.一元二次方程根与系数的关系：acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果六、提炼新知：