二次根式和它的性质第一课时一、回顾与思考1.4的平方根是_____;0的平方根是______.2.5的平方根是_______;5的算术平方根是____.3.什么叫平方根?什么叫算术平方根?5052请同学们议一议:(1)-1有算术平方根吗?(2)0的算术平方根是多少?(3)当a<0时,a有平方根吗?(没有)(0)(没有)复习小结:一个正数有两个平方根;0的平方根为0;在实数范围内,负数没有平方根;因此,开方时被开方数只能为正数或0.二、创设情境,引入新知用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:S(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为_________.65h53三、探索新知,解决问题在上面的问题中,化简的结果分别是,,,.它们都表示一些正数的算术平方根.65h5S33.形式上含有二次根号.2.可以是数,也可以是式.a5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.a4..0a1.表示的算术平方根.aa所以,当a≥-1时,在实数范围内有意义.例1a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?解:(1)如果有意义,那么a+1≥0,解不等式a+1≥0,得(1)1a;(2)1-3a.a≥-1.1a1a四、例题讲解,应用新知所以,当时,在实数范围内有意义.(2)如果有意义,那么1-3a≥0.解不等式1-3a≥0,得13a1.3a13a1.3a当x≥2时,在实数范围内有意义.当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解:由x-2≥0,得x≥2.x2x2例2计算:解:;))((2151;)-)((283.02.2332)-)((;))((151512;)()-)((83.083.083.0222.182923233222)()-()-)((1.当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)x3x243x5x12xx1x1x2x3练习:2(21).;(1)(2)2.计算:2(23).2(21)=2.1.;(1)222(23)2(3)4312.(2)五、检测反馈当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1);(2);(3).a3a1a262总结:求二次根式中字母的取值范围的基本依据:①被开方数不小于0;②分母中有字母时,要保证分母不为0.第二课时计算猜一猜:当a≥0时,二次根式的值是什么?议一议222212305,,,2a二次根式有哪些性质?20aaa2(0)aaa复习回顾例3化简:136();92.4()解:2136=6=6();29332=().422()94941,64121641212,32323,abab一般地,二次根式有下面的性质:(0,0)ab积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.925;(1)(2)300.例4化简:解:9259253515;30010031003103.===如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方,可以利用公式将这些因式(或因数)开出来.慧眼识真!222214949213121312131249有意义吗?如果有意义,应该等于多少?做一做做一做44199,161622525,66(3)77与相等吗?为什么?aabb一般地,二次根式有下面的性质:(0,0)ab>商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根(1)(2)325;45169;例5化简:解:33325525==;245451691699535.1313===如何化去根号内的分母?议一议2222222222212121(1)(2)25;17;例6化去下列各式根号内的分母:解:2225255555105===;221777777.7===(1)1212252(2)47练习化简18((33))9547253.0)6(化简结果要求:(2)根号内不再含有开得尽方的因式.(1)根号内不再含有分母.被开方数不含分母,不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫最简二次根式.例7把下列各式子化成最简二次根式:;)(321;)(271252.833a)(解:.24216321)(.9155333355335527125271252)(.4216216283233aaaaaa)(1.二次根式的性质:2(0)(0,0)(0,0)aaaabababaaabbb2.运用性质化简:(2)根号内不再含有开得尽方的因式.(1)根号内不再含有分母.被开方数不含分母,不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫最简二次根式.