1.4生活中的优化问题举例1．如果圆柱截面的周长l为定值，则体积的最大值为()．A.3πB.3πC.3πD.3π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，∴r＝是其唯一的极值点．∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.答案A2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为()．A．2πr2B．πr2C．4πrD.πr2解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积S＝2πxh，∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，令(S2)′＝0得x＝r(x＝0舍去)，∴Smax＝2πr2，故选A.答案A3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()．A．150B．200C．250D．300解析由题意得，总利润P(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.答案D4．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________.解析可列出V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出x的最大值．答案5．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝±16. x>0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．答案32；166．如图所示，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解设矩形边长AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2，则矩形面积为S＝2x(4－x2)(00；当x>时，S′<0，所以当x＝时，S取得最大值，此时，S最大值＝.即矩形的边长分别为，时，矩形的面积最大．7．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()．A.B.C.D．2解析设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin60°·l，∴l＝，∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝x2＋，S′表＝x－.令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝.又当x∈时，S′表<0；当x∈，S′表>0，∴当x＝时，表面积最小．答案C8．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()．A.cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2解析设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.答案D9．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．解析如图，设∠OBC＝θ，则0<θ<，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.∴S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.∴cos2θ＝sinθ.∴1－2sin2θ＝sinθ，解之sinθ＝，0<θ<.∴θ＝，即当θ＝时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝r＋＝时面积最大．答案10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．答案311．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2...
