如何求单位分数和的最简真分数？————数学探究课教学案例徐教院附中何京尧背景如何联系学生实际情况进行数学探究课的教学，本人将于本学期作这一节课的尝试。本节课的教学目标是：1.解答求单位分数和的最简真分数问题，理解有关概念。2.指导学生尝试解决数学问题，从而对数学产生兴趣。3.从解题的探索中，学会思维的方法：从特殊到一般，再从一般加以逻辑推理，猜想结果的方法；类比和分类讨论等数学思想。教学重点是：学会尝试、探索、推理和归纳的思维方法。估计的教学难点是：探索如何有效解决这个问题的方法。教学方法是：引导、讨论、归纳和探索。实践教学过程：这是一道有趣的分数加法综合题。“分子为1的真分数叫做单位分数，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如：312165。（1）把127写成两个单位分数的和，请写出两种不同的答案。（2）最简真分数x9，对某些x的值，它可以写成两个单位分数的和，例如当x=20时，5141209。请再找出三个不同的x值，使得x9可以写成两个单位分数的和，并写出式子。我们就从这道题开始吧。分析：（1）从例题“312165”可以看到这个真分数的“分子恰好是两个单位分数的分母之和，分母是两个单位分数的分母之积。”相类似，由观察所得的这个真分数的特征，易于得到“,1243,743”4131127。可得一个答案。那么，另一个答案怎么考虑？我们知道：根据分数相加的法则，真分数的分子7应是两数之和。7=1+6=2+5=3+4，这三种情况。而分母12应是两数之积：12=1×12=2×6=3×4三种情况。这里“3+4和3×4恰好是我们的一个答案”。那么从分子之和为7考虑是否还有两种情况：①由分子7=1+6，分母为12。若127126121化简其中21126为真分数单位，可得另一答案12121127。②由分子7=2+5，分母为12，应有125122化简其中61122为分子是1的单位分数，而125已经是最简分数，无法化为分子为1的单位分数，不能得到符合题意的答案。从分子相加为7，分子相乘为12两者的角度考虑，写成127的两个单位分数的和。只有4131127和12121127两个答案。方法分析：（2）将最简真分数x9写成两个单位分数的和。从（1）的答案中启示我们，可以从分子9=1+8=2+7=3+6=4+5这四种情况考虑，用穷举的方式归纳解出。解：（1）满足分子相加1+8的分数之和：8981111（不合题意，舍去.）16982121（是一个答案）8324983131（不是答案）32984141（是一个答案）40985151（是一个答案）16348986161（不是答案）56987171（是一个答案）64988181）（是一个答案）8172989191（不是答案）······总结：当n≥1为自然数，∵1×8=8，∴取x=8n，8n不是3的倍数时，即可。nnx8119这样的单位分数和式有无数多个。（2）满足分子相加2+7的分数之积。n=1，1491472171121（是一个答案）n=2，2892827271221（是一个答案）n=3，143422721161（不是答案）n=4，56928181（是一个答案）······当x=2×7n=14n时(n≥1为自然数)，且3不能整除14n为此时解，nnx71219这样的单位分数和式有无数多个。（3）满足分子相加3+6的单位分数之和。因为分母取x=3×6n=18n为9的倍数，不能构成最简真分数，故此种情况无解。，（4）满足分子相加4+5的单位分数之和。类似地有：当x=4×5n=20n时(n≥1为自然数)，且3不能整除20n为此时解，nnx51419这样的单位分数和式有无数多个。结论从这道综合题，我们能否得到这么一个结论。一般地，最简真分数xm（m为奇数），可以写成两个单位分数之和的条件是：当)1(2121nnnnm,)(2121nnnmmnnnnxi的质因数，不能整除为为自然数，且时，nnnnxm2111。如果有那位同学能给以证明，那就太好了！启示本堂课的问题虽然看似简单，但要深入下去，却是相当困难的，它牵扯到数学的整数理论——“数学王冠上的明珠”。可是本节课编排，从学生已学过的“分数加减法”基础知识入手，从兴趣出发，启发引导，步步深入，探索研究，不断归纳总结，会得到非常漂亮的结论。它给我们的启示是：看似非常艰深和复杂的问题，只要老师了解学生的实际情况，师生共同努力，教师善于启发引导、适当讨论、归纳和探索，都会解决的。这里结果并不重要，重要的是：在师生互动过程中，学生学到了如何分析问题和如何探索解决问题的思维方法，即初步学习到如何尝试、探索、推理和归纳的思维方法，这对于学生的长远发展是最宝贵的。
