一道习题的变式浦东新区彭镇中学王国新电话:18019417586利用课本上的习题,探索多种解法,进行多种变式,是对学生进行学习方法和学习能力的培养,也是数学教学中常用的方法,可以快速提高学生的解题能力。对上海版八年级(试用本)第一学期课本中的一道题(P页第1题)的教学,可利用该题进行一题多解、一题多变,能取得更好的教学效果。原题:已知:如图(1),在△ABC中,∠C=90°、D为直角边AC上的一点、BD平分∠ABC、AD=2CD求证:(1)∠A=30°,(2)点D在线段AB的垂直平分线上。分析:(1)由已知AD=2CD,要证∠A=30°,只须以AD为斜边、CD为直角边,构造一个直角三角形,可证。(2)要证点D在线段AB的垂直平分线上,只须证AD=BD即可得证。证法一:(1)过点D作线段AB的垂线DE,E为垂足。 ∠C=90°,BD平分∠ABC(已知)∴DC=DE(角平分线性质) AD=2CD(已知)∴AD=2DE(等量代换)∴∠A=30°(直角三角形中,如果一条直角边等于斜边一半,那么这条直角边所对的角等于30°)(2) ∠C=90°∠A=30°∴∠ABC=60° BD平分∠ABC(已知)∴∠ABD=∠CBD=30°(角平分线定义)∴∠A=∠ABD=30°(等量代换)∴AD=BD(等角对等边)∴点D在线段AB的垂直平分线上。(和线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)证法二:(1)在线段AB上取一点E,使BC=BE,连接DE BD平分∠ABC(已知)∴∠CBD=∠EBD(角平分线定义)在△CBD和△EBD中∴△CBD≌△EBD(SAS)∴∠C=∠BED=90°(全等三角形对应角相等)BCADE图(1)CD=ED(全等三角形对应边相等) AD=2CD(已知)∴AD=2ED(等量代换)∴∠A=30°(直角三角形中,如果一条直角边等于斜边一半,那么这条直角边所对的角等于30°)证法三(1)把△CBD绕直线BD翻折,则线段BC落在AB上(为什么?),点C与点E重合,CD与ED重合,CD=ED,∠C=∠BED=90° AD=2CD(已知)∴AD=2ED(等量代换)∴∠A=30°(直角三角形中,如果一条直角边等于斜边一半,那么这条直角边所对的角等于30°)把原题做如下改编1.题设不变,结论改为BC=AB。只须证明∠A=30°证明方法同上。2.把题设中的“AD=2CD”和结论中的“∠A=30°”对调已知:如图(1),在△ABC中,∠C=90°、D为直角边AC上的一点、BD平分∠ABC、∠A=30°求证:AD=2CD分析:作DE⊥AB于E,则AD=2DE,在证DC=DE证明:作DE⊥AB于E ∠A=30°(已知)∴AD=2DE(直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半) BD平分∠ABC,∠C=90°(已知)DE⊥AB(已作)∴CD=ED(角平分线性质)∴AD=2CD(等量代换)3.把题设中的“AD=2CD”和结论中的“(2)点D在线段AB的垂直平分线上”对调就是课本练习第3题。已知:如图(2),在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE垂直平分AB求证:AD=2CD分析:由已知∠C=90°,BD平分∠ABC,DE垂直平分AB可得CD=ED(角平分线性质),只须证明∠A=30°证明: ∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB(已知)∴CD=ED(角平分线性质) DE垂直平分AB(已知)∴AD=BD(线段垂直平分线性质)∴∠A=∠ABD(等边对等角) ,BD平分∠ABC(已知)∴∠CBD=∠ABD(角平分线定义) ∠A+∠ABC=90°(直角三角形性质)∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°∴AD=2DE(直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)BCADE图(2)∴AD=2CD(等量代换)4.把题设中的“BD平分∠ABC”和结论中的“(1)∠A=30°”对调已知:如图(1),在△ABC中,∠C=90°,D为直角边AC上的一点,AD=2CD,∠A=30°。求证:BD平分∠ABC分析:作DE⊥AB于E,要证BD平分∠ABC,只须证明CD=ED证明:DE垂直平分AB,∠A=30°(已知)∴AD=2DE(直角三角形中,30°角所对的直角边的等于斜边的一半) AD=2CD(已知)∴CD=ED(等量代换) ∠C=90°(已知)DE⊥AB(已作)∴BD平分∠ABC(到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)5.把题设中的“BD平分∠ABC”和结论中的“(2)点D在线段AB的垂直平分线上”对调。已知:如图(2),在△ABC中,∠C=90°,D为直角边上的一点,AD=2CD,DE垂直平分AB求证:BD平分∠ABC分析:证明∠CBD=...