一道习题的变式浦东新区彭镇中学王国新电话：18019417586利用课本上的习题，探索多种解法，进行多种变式，是对学生进行学习方法和学习能力的培养，也是数学教学中常用的方法，可以快速提高学生的解题能力。对上海版八年级（试用本）第一学期课本中的一道题（P页第1题）的教学，可利用该题进行一题多解、一题多变，能取得更好的教学效果。原题：已知：如图（1），在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点、BD平分∠ABC、AD＝2CD求证：（1）∠A＝30°，（2）点D在线段AB的垂直平分线上。分析：（1）由已知AD＝2CD，要证∠A＝30°，只须以AD为斜边、CD为直角边，构造一个直角三角形，可证。（2）要证点D在线段AB的垂直平分线上，只须证AD＝BD即可得证。证法一：（1）过点D作线段AB的垂线DE，E为垂足。 ∠C＝90°，BD平分∠ABC（已知）∴DC＝DE（角平分线性质） AD＝2CD（已知）∴AD＝2DE（等量代换）∴∠A＝30°（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30°）（2） ∠C＝90°∠A＝30°∴∠ABC＝60° BD平分∠ABC（已知）∴∠ABD＝∠CBD＝30°（角平分线定义）∴∠A＝∠ABD＝30°（等量代换）∴AD＝BD（等角对等边）∴点D在线段AB的垂直平分线上。（和线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）证法二：（1）在线段AB上取一点E，使BC＝BE，连接DE BD平分∠ABC（已知）∴∠CBD＝∠EBD（角平分线定义）在△CBD和△EBD中∴△CBD≌△EBD（SAS）∴∠C＝∠BED＝90°（全等三角形对应角相等）BCADE图（1）CD＝ED（全等三角形对应边相等） AD＝2CD（已知）∴AD＝2ED（等量代换）∴∠A＝30°（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30°）证法三（1）把△CBD绕直线BD翻折，则线段BC落在AB上（为什么？），点C与点E重合，CD与ED重合，CD＝ED，∠C＝∠BED＝90° AD＝2CD（已知）∴AD＝2ED（等量代换）∴∠A＝30°（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30°）把原题做如下改编1．题设不变，结论改为BC＝AB。只须证明∠A＝30°证明方法同上。2．把题设中的“AD＝2CD”和结论中的“∠A＝30°”对调已知：如图（1），在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点、BD平分∠ABC、∠A＝30°求证：AD＝2CD分析：作DE⊥AB于E，则AD＝2DE，在证DC＝DE证明：作DE⊥AB于E ∠A＝30°（已知）∴AD＝2DE（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） BD平分∠ABC，∠C＝90°（已知）DE⊥AB（已作）∴CD＝ED（角平分线性质）∴AD＝2CD（等量代换）3．把题设中的“AD＝2CD”和结论中的“（2）点D在线段AB的垂直平分线上”对调就是课本练习第3题。已知：如图（2），在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE垂直平分AB求证：AD＝2CD分析：由已知∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE垂直平分AB可得CD＝ED（角平分线性质），只须证明∠A＝30°证明： ∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB（已知）∴CD＝ED（角平分线性质） DE垂直平分AB（已知）∴AD＝BD（线段垂直平分线性质）∴∠A＝∠ABD（等边对等角） ，BD平分∠ABC（已知）∴∠CBD＝∠ABD（角平分线定义） ∠A+∠ABC＝90°（直角三角形性质）∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°∴AD＝2DE（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）BCADE图（2）∴AD＝2CD（等量代换）4．把题设中的“BD平分∠ABC”和结论中的“（1）∠A＝30°”对调已知：如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，D为直角边AC上的一点，AD＝2CD，∠A＝30°。求证：BD平分∠ABC分析：作DE⊥AB于E，要证BD平分∠ABC，只须证明CD＝ED证明：DE垂直平分AB，∠A＝30°（已知）∴AD＝2DE（直角三角形中，30°角所对的直角边的等于斜边的一半） AD＝2CD（已知）∴CD＝ED（等量代换） ∠C＝90°（已知）DE⊥AB（已作）∴BD平分∠ABC（到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）5．把题设中的“BD平分∠ABC”和结论中的“（2）点D在线段AB的垂直平分线上”对调。已知：如图（2），在△ABC中，∠C＝90°，D为直角边上的一点，AD＝2CD，DE垂直平分AB求证：BD平分∠ABC分析：证明∠CBD＝...
