实用文档常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a，b和c是三个矢量，组合abc叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为,,ijk，令三个矢量的分量记为123123,,,,,aaaabbbb及123,,cccc则有123123123123123123cccijkabcaaacicjckaaabbbbbb因此，三重标量积必有如下关系式：abcbcacab即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。2.三重矢量积如a，b和c是三个矢量，组合abc叫做他们的三重标量积，因有()()()abcacbcba故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()abcabcacb（1-209）将矢量作重新排列又有：abcbacbac（1-210）3.算子（a）是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a）则是一个标量算子，将它作用于标量，即()a是在a方向的变化速率的a倍。如以无穷小的位置矢量dr代替以上矢量a，则()dr是在位移方向dr的变化率的dr倍，即d。()ddrdr若将()dr作用于矢量v，则()drv就是v再位移方向dr变化率的dr倍，既为速度矢量的全微分dvdrv应用三重矢量积公式（1-209）00()()()()abababbaabbaab实用文档应用三重矢量积公式（1-210）又有00()()()()abababababbaba将以上两式结合（相减）后可得1()()()()()2abababbaabbaab一个重要的特例，令abv，因0vv则有21()()2vvvvv4.算子的应用令是标量，a是矢量，;ab为并矢量，则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()aaaaaaaaaaaaaabababbaab在直角坐标中，令2222222()xyzyxzxyzxyzaiajakaijkxyzaaaaxyzijkaxyzaaaxyzaaaaxyz对一组正交曲线坐标系123(,,)，其单位矢量123(,,)eee，将任意位置矢量R变分写为111222333Rhdehdehde其中123,,hhh为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，Rdxidxjdxk，所以1231hhh。在柱坐标(,,)rz中，因rzRdrerdedze，所以实用文档1321,hhhr。在球坐标(,,)r中，因sinrRdrerdere，所以1231,,sinhhrhr。在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量112233aaeaeae，则有312112233231312231123133112233123123112233()()()11eeehhhhhahhahhaahhhheheheahhhhahaha单位矢量的旋度和散度为3211113312223112312233112123111222333(1,2,3)()1(1,2,3)1()()()eehhehhhhhhehhhhhhhhhhhhhhh轮换轮换123(,,)nnnn方向梯度n作用于矢量a为332121111213122131313332221223212332311233112233313231132323()()()()()()ahahhhnaenannnnhhhhaahhhhenannnnhhhhhhahahenannnnhhhh实用文档笛卡尔张量1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号以1(1,2,3)xi表示笛卡尔直角坐标系的坐标，1(1,2,3)ii表示三个坐标轴方向单位矢量。令123(,,)xxx，定义求和约定的写法为123123iiddxdxdxdxxxxx式中重复下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，jjdxx和iidxx具有相同的效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。克罗克尼尔（Kroneker）符号定义为0,1,ijijij在笛卡尔直角坐标系中，有12,,3,iijijijijijjxiixxx单位矩阵也可以表示为111213212223313233100010()001ijI轮转符号定义为0,,,1,,,1,2,3-1,,,1,2,3ijkijkijkijk当中有两个相同时当为顺序轮转排列时当为非轮转顺序排列时例如1232313121323212131,1。采用轮转符号ijk可使运算的书写简化，如123123123iijkjkiiiiabaaaabbbb或123123123()()iiijkjkikijkijababiiivvixxxxvvv实用文档或()()kiijkjvvx2.笛卡尔张量定义在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶张量。若有一个量（如应力）在任一点处有三个矢量分量123,,ppp即这个量具有九个分量。这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则这个量称为二阶张量，常简称为张量。在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等...
