典型例题一例1若ba//，Acb，则a，c的位置关系是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111DCBAABCD中，设aBA11，bAB，则ba//．若设cBB1，则a与c相交．若设cBC，则a与c异面．故选D．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a，b相交，b，c相交，则a，c的位置b异面，b，c异面，则关系是相交、平行或异面．类似地；a，a，c的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2已知直线a和点A，A，求证：过点A有且只有一条直线和a平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性．．．命题，常用反证法．证明：（1）存在性． aA，∴a和A可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点A和a平行的直线．（2）惟一性假设在空间过点A有两条直线b和c满足ab//和ac//．根据公理4，必有cb//与Acb矛盾，∴过点A有一条且只有一条直线和a平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三例3如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且ADAHABAE，CDCGCBCF，求证：（1）当时，四边形EFGH是平行四边形；（2）当时，四边形EFGH是梯形．分析：只需利用空间等角定理证明FGEH//即可．证明：连结BD，在ABD中，ADAHABAE，∴BDEH//，且BDEH．在CBD中，CDCGCBCF，∴BDFG//，且BDFG．∴FGEH//，∴顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内．（1）当时，FGEH，故四边形EFGH为平行四边形；（2）当时，FGEH，故四边形EFGH是梯形．说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．特别地，当21时，E，F，G，H是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．如果再加上条件BDAC，这时，平行四边形EFGH是菱形．典型例题四例4已知ba、是两条异面直线，直线a上的两点BA、的距离为6，直线b上的两点DC、的距离为8，BDAC、的中点分别为NM、且5MN，求异面直线ba、所成的角．分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线ba、平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图，连结BC，并取BC的中点O，连结ONOM、， ONOM、分别是ABC和BCD的中位线，∴ABOM//，CDON//，即aOM//，bON//．∴ONOM、所成的锐角或直角是异面直线ba、所成的角．又 6AB，8CD，∴3OM，4ON．在OMN中，又 5MN，∴222MNONM，∴90MON．故异面直线ba、所成的角是90．说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点O一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．典型例题五例5已知四面体ABCS的所有棱长均为a．求：（1）异面直线ABSC、的公垂线段EF及EF的长；（2）异面直线EF和SA所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取ABSC、的中点FE、，连结CFSF、．由已知，得SAB≌CAB．∴CFSF，E是SC的中点，∴SCEF．同理可证ABEF∴EF是ABSC、的公垂线段．在SEFRt中，aSF23，aSE21．∴22SESFEFaaa22414322．（2）取AC的中点G，连结EG，则SAEG//．∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角．连结FG，在EFG中，aEG21，aGF21，aEF22．由余弦定理，得22222124142412cos222222aaaaaEFEGGFEFEGGEF．∴45GEF．故异面直线EF和SA所成的角为45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面...
