球坐标系课件人教A选修VIP免费

返回返回返回返回返回返回球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作，其中.(r，φ，θ)P(r，φ，θ)r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π返回返回(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为.x＝rsinφ·cosθy＝rsinφ·sinθz＝rcosφ.返回返回[例1]已知点P的球坐标为(4，3π4，π4)求它的直角坐标．[思路点拨]直接套用变换公式求解．[解]由变换公式得：x＝rsinφcosθ＝4sin3π4cosπ4＝2.y＝rsinφsinθ＝4sin3π4sinπ4＝2.z＝rcosφ＝4cos3π4＝－22.∴它的直角坐标为(2,2，－22)．返回返回已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.返回返回1．求下列各点的直角坐标：(1)M(2，π6，π3)；(2)N(2，3π4，7π6)．解：(1)由变换公式得：x＝rsinφcosθ＝2sinπ6cosπ3＝12，y＝rsinφsinθ＝2sinπ6sinπ3＝32，z＝rcosφ＝2cosπ6＝3.故其直角坐标是(12，32，3)．返回返回(2)由变换公式得：x＝rsinφcosθ＝2sin3π4cos7π6＝－62.y＝rsinφsinθ＝2sin3π4sin7π6＝－22.z＝rcosφ＝2cos3π4＝－2.∴它的直角坐标为(－62，－22，－2)．返回返回2．将M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．解：∵(r，θ，φ)＝(π，π，π)，∴x＝rsinθcosφ＝0，y＝rsinθsinφ＝0，z＝rcosθ＝－π.∴点M的直角坐标为(0,0，π).返回返回[例2]设点M的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．[思路点拨]直接套用坐标变换公式求解．[解]由坐标变换公式，可得r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋22＝2.由rcosφ＝z＝2，得cosφ＝2r＝22，φ＝π4.又tanθ＝yx＝1，θ＝π4(M在第一象限)，从而知M点的球坐标为(2，π4，π4)．返回返回由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，求出r、θ、φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝yx，cosφ＝zr.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．返回返回3．求下列各点的球坐标：(1)M(1，3，2)；(2)N(－1,1，－2)．解：(1)r＝x2＋y2＋z2＝12＋32＋22＝22，由z＝rcosφ得cosφ＝zr＝222＝22.∴φ＝π4，又tanθ＝yx＝31＝3，x>0，y>0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为(22，π4，π3)．返回返回(2)由变换公式得：r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋22＝2.由z＝rcosφ得：cosφ＝zr＝－22.∴φ＝3π4.又tanθ＝yx＝1－1＝－1.x＜0，y＞0.∴θ＝3π4.∴它的球坐标为(2，3π4，3π4)．返回返回点击下图进入点击下图进入