数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线2(0)yxy上的点iP与x轴的正半轴上的点iQ及原点O构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，⋯△Qn-1PnQn⋯设正三角形1nnnQPQ的边长为na,n∈N﹡(记0Q为O),,0nnQS.（1）求1a的值;（2）求数列{na}的通项公式na。2.设,nnab都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有21,,nnnaba成等差数列，2211,,nnnbab成等比数列．（1）试问nb是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2ab，求数列1na的前n项和nS．3.已知等差数列｛na｝中，2a＝8，6S＝66.（Ⅰ）求数列｛na｝的通项公式；（Ⅱ）设nnanb)1(2，nnbbbT21，求证：nT16.4.已知数列{na}中531a，112nnaa（n≥2，Nn），数列}{nb，满足11nnab（Nn）（1）求证数列{nb}是等差数列；（2）求数列{na}中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记21bbSn⋯nb，求1)1(limnnSbnn．5.已知数列{an}中，a1>0,且an+1=23na，(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；(Ⅲ)若a1=2，设bn=|an+1－an|(n=1，2，3，⋯)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<25．6.（1）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（2）已知：2nNn且，求证：11211ln13121nnn。7.已知数列na各项均不为0，其前n项和为nS，且对任意Nn，都有nnpapSp)1(（p为大于1的常数），并记nnnnnnnSaCaCaCnf21)(2211.（1）求na；（2）比较)1(nf与)(21nfpp的大小Nn；（3）求证：1212111111)()()12(nnippppifnfn(Nn).8.已知nN，各项为正的等差数列na满足263521,10aaaa，又数列lgnb的前n项和是11lg312nSnnnn。（1）求数列na的通项公式；（2）求证数列nb是等比数列；（3）设nnncab，试问数列nc有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。9.设数列na前项和为ns,且(3),(32)Nnmmasmnn,其中m为常数,m.3(1)求证:是等比数列;若数列na的公比q=f(m),数列nb满足),2,)((231,11nNnbfbabnn求证:nb1为等差数列,求nb.10.已知数列}{na满足：,21,121aa且0]1)1[(22])1(3[2nnnnaa，*Nn．（Ⅰ）求3a，4a，5a，6a的值及数列}{na的通项公式；（Ⅱ）设nnnaab212，求数列}{nb的前n项和nS；11.将等差数列{}na所有项依次排列，并作如下分组：1234567(),(,),(,,,),aaaaaaa⋯第一组1项，第二组2项，第三组4项，⋯，第n组12n项。记nT为第n组中各项的和。已知3448,0TT。（1）求数列{}na的通项；（2）求{}nT的通项公式；（3）设{}nT的前n项的和为nS，求8S。12.设各项为正数的等比数列na的首项211a，前n项和为nS，且0)12(21020103010SSS。（Ⅰ）求na的通项；（Ⅱ）求nnS的前n项和nT。13.设数列}{na是首项为0的递增数列，（Nn），,)(1sin)(nnaxnxf,[nax]1na满足：对于任意的bxfbn)(),1,0[总有两个不同的根。（1）试写出)(1xfy，并求出2a；（2）求nnaa1，并求出}{na的通项公式；（3）设nnnaaaaaS14321)1(，求nS。14.已知数列3021,,,aaa，其中1021,,,aaa是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,aaa是公差为d的等差数列；302120,,,aaa是公差为2d的等差数列（0d）.(Ⅰ)若4020a，求d；（Ⅱ）试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使得403130,,,aaa是公差为3d的等差数列，⋯⋯，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？(所得的结论不必证明)15.一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到13，记为113f；②当从A口输入自然数2nn时，在B口得到的结果fn是前一个结果1fn的211213nn倍.（1）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？试猜想fn的关系式，并证明你的结论；（2）记nS为数列fn的前nnS的值.16.已知数列}{na，其前n项和Sn满足(121nnSS是大于0的常数），且a1=1，a3=4.（1）求的值；（2）求数列}{na的通项公式an；（3）设数列}{nna的前n项和为Tn，试比较2nT与Sn的大小.17.定义：若数列{}nA满足21nnAA，则称数列{}nA为“平方递推数列”．已知数列{}na中，12a，且2122nnnaaa，其中n为正整数．(1)设21nnba，证明：数列{}nb是“平方递推数列”，且数列{lg}nb为等...
