第十九章含参量积分一、证明题1.证明下列各题:(1)122222dxyxxy在R上一致收敛;(2)1yxdye2在[a,b]上一致收敛;(3)0xydyxe.(ⅰ)在[a,b](a>0)上一致收敛;(ⅱ)在[0,b]上不一致收敛;(4)10dyxyln在b,b1(b>1)上一致收敛;(5)10dydx在b,(b>1)上一致收敛.2.设f为,cb,a上连续非负函数.I(x)=cdyy,xf在[a,b]上连续,证明I(x)在[a,b]上一致收敛.3.证明:若f为,cb,a上连续函数,含参量非正常积分I(x)=cdyy,xf在[a,b]上收敛,在x=b时发散,则I(x)在b,a上不一致收敛.4.设f为,b,a上非负连续函数,I(x)=bdyy,xf和J(y)=adxy,xf分别为,a和,b上连续函数,证明:若abdyy,xfdx与badxy,xfdy中有一个存在,则abdyy,xfdx=badxy,xfdy5.设f(x,y)=yx11qp1peyx,证明00,dyyxfdx=00dxy,xfdy.二、计算题1.求下列极限:(1)11220dxxlim;(2)2020xdxcosxlim.2.设F(x)=22xxxydye,计算xF.3.应用对参量的微分法,计算:(1)202222cossinlndxxbxa.0ba22;(2)xdxaxa02cos21ln.4.设f为可微函数,试求下列函数F的二阶导数.(1)F(x)=0dyyfyx;(2)F(x)=badyyxyf,ba.5.从等式baxydye=xeebxax出发,计算积分0dxxeebxax(b>a>0)6.计算下列积分(其中0,0):(1)02dxxeexxa;(2)0sin22xdxxeexx.7.计算下列Γ函数的值:25,25,n21,n218.运用欧拉积分计算下列积分(其中n为自然数):(1)102dxxx;(2)022dxexxn;(3)2046cossinxdx;(4)22sinxdxx;(5)21n2xdxsin9.回答下列问题:(1)对极限0xy0xdyxye2lim2能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解(2)对100dxxy32exy2y2dy能否运和积分顺序交换来求解(3)对F(x)=0yx3dyex2能否运用积分与求导运算顺序交换来求解10.利用余元公式计算下列积分:(1)024dxx1x;(2)10nnx1dx(n为自然数)11.应用积分号下微分法或积分号下积分法,计算下列定积分:(1)0dxtgxatgxarctg,1;(2)10abdxxlnxxx1lnsin,0ab;(3)10abdxxlnxxx1lncos,0ab三、考研复习题1.设f:RR3是连续可微函数,证明函数H(x)=3322babadyz,y,xfdz是可微函数,且xH=3322babadyxz,y,xfdz2.设F(x,y)=xyyxdzzfyzx,其中f为可微函数,求y,xFxy.3.设f为可微函数,求下列函数F的导数:(1)F(t)=2222tzyx222dxdydzzyxf;(2)F(t)=vdxdydzxyzf,其中v=x0z,y,x,tz,y.4.应用积分02dteat=a2(a>0),证明:(1)0at2dtet2=32a4;(2)0atn2dtet2=21n1na2!!1n2.5.应用积分022axdx=a2,求01n22axdx.6.求函数F(y)=021sindxxxy的不连续点,并作出函数F(y)的图象.7.设f是,0,0上的连续函数,证明:若0,dyyxf在0x上一致收敛于F(x),且y,xflimx=y对任何y,0,ba一致地成立,则xFlimx=0dyy8.证明:(1)101lndxxx=62;(2)udttt01ln=1n22nu,1u0
