圆压轴八大模型题(1)-弧中点的运用VIP免费

5圆压轴题八大模型题(一)泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用在00中，点C是亦的中点，CE丄AB于点E.(1)在图1中，你会发现这些结论吗？①AP=CP=FP；②CH=AD；②AC2=AP・AD=CF・CB=AE・AB.(2)在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗?【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：ZCAD=ZB=ZACE;ZPCF=ZPFC,所以AP=CP=FP.O(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，DC=AC=AH,OA再由弧叠加得：CH=AD，所以CH=AD.(1)③由共边角相似易证：ZCE^△ABC,△ACP△ADC,△ACF△BCA,进而得AC2=AE-AB;AC2=AP-AD;AC2=CF-CB;(2)垂径定理的推论得：CO丄AD,易证：RtAABCsRt^ACEsRtACBEsRt^ACFsRtABDFsRt^ACGsRtACGF.此外还有RtAAPEsRtAAOGsRtAABDsRt^CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。【典例】BB5(2018•湖南永州)如图，线段AB为00的直径，点C，E在00上，CD丄AB,垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CF=BF；(2)若cosZABE=±，在AB的延长线上取一点M，使BM=4,00的半径为6.求证:（图1-直线CM是00的切线.【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到BC=BG,再由BOCE得到等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得0C丄BE,再由锐角三角函数得到边BH、0H的长度，由对应边成比例得BE//CM，由ZMC0=ZBH0=90°证得结论。证明：（1）延长CD交00于G,如图,•.•CD丄AB,・：BC=BG,TCE,・°・CE=BG,AZCBE=ZGCB,ACF=BF；（2）连接0C交BE于H,如图,VB^CE,A0C丄BE,在Rt^OBH中，cosZOBH=，^―,OE5:.BH=^X6=■,0H==—,55帖5丿5IB..里=亘=色•^—-6氏，而—W，.:如=坐，而ZH0B—ZC0M,OC0M.•.△0HBsA0CM,・：Z0CM=Z0HB=90°,・：0C丄CM,：.直线CM是00的切线.【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】1.（2018•四川宜宾）如图，AB是半圆的直径,AC是一条弦，D是AC的中点，DE±AB于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G,若亜一邑AE4（图1-则显=.(近)GE52.(2010•泸州)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分ZBAD和ZADCo(1)求证：AE丄DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F,连接FGDF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求值。AF(1)证明：在HABCD中，•:AB//CD,.IZBAD+ZADC=180°VAE与DE平分ZBAD和ZADC:.ZEAD=1ZBAD,ZEDA=1ZADC,22:.ZAED=180°-(ZEAD+ZEDA)=180°-(1ZBAD+1ZADC)22=180°-1(ZBAD+ZADC)2=180°-90°=90°:.AE±DE(2)解：在nABCD中，':AD/BC:.ZEAD=ZAEB，且ZBAE=ZDAE:・ZBAE=ZAEB,・\AB=BE,同理：DC=EC=5又:AB=DC,・・AB=BE=DC=EC=5,・BC=AD=10在Rt^AED中，由勾股定理可得：DE=弋AD2—AE2=*102—82=6•:ZBAE=ZEAD,ZAFD=ZAED=90°:.△AFGs'AED,・AFAE_8=4**FG~ED~633.(2012•泸州)如图，△ABC内接于00,AB是00的直径，C是AD的中点，弦CE丄AB于点H,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q,连结BDo(1)求证：P是线段AQ的中点；15(2)若00的半径为5,AQ=^，求弦CE的长。(1)证明：：°AB是0O的直径，弦CE丄AB,OOO・AC=AE.又：°C是AD的中点，・AC=CD,・AE=CD.:.ZACP=ZCAP.:.PA=PC,:AB是直径..•.ZACB=90°..\ZPCQ=90°-ZACP,ZCQP=90°-ZCAP,:.ZPCQ=ZCQP.・PC=PQ.图9(图1-(图1-:.PA=PQ，即P是AQ的中点;(2)解：AC=CD,:.ZCAQ=ZABC.又•.•ZACQ=ZBCA,：.ACAQsACBA.1AC_AQ1又VAB^10,：AC^6,BC=8.根据直角三角形的面积公式，得：AC・BC=AB・CH,：.6X8=10CH.24：.CH=~5.又ICH=HE,48：.CE=2CH=w.4.(2014•泸州)如图，四边形ABCD内接于©O,AB是OO的直径，AC和BD相交于...