1/41-2-2-2.整数裂项.题库教师版page1of4整数裂项基本公式(1)122334...(1)nn1(1)(1)3nnn(2)1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4nnnnnnn【例1】1223344950=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。设S＝12233449501×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4⋯⋯49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋⋯＋49×50×3＝49×50×51S＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：12111111211333nnnnnnnnnnnnnn，所以原式11111123234123910118910333331910113303另解：由于21nnnn，所以原式222112299222129129119101991062330采用此种方法也可以得到112231123nnnnn这一结论．例题精讲知识点拨整数裂项2/41-2-2-2.整数裂项.题库教师版page2of4【答案】330【例2】14477104952=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】设S＝144771049521×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10⋯⋯⋯⋯.49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S＝49×52×55＋1×4×2S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例3】12323434591011【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】111212311244nnnnnnnnnnn，所以，原式111111234234512349101112891011444441910111242970从中还可以看出，1123234345121234nnnnnnn【答案】2970【例4】计算：135357171921．【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可以进行整数裂项．357913573578，5791135795798，17192123151719211719218，所以原式35791357171921231517192113588171921231357135817192123135819503也可适用公式．原式3233252552192191923/41-2-2-2.整数裂项.题库教师版page3of4222222323525192193333519435193333135194135193而3333333333331351912320246202222112021810114419900，21351910100，所以原式199004100319503．【答案】19503【巩固】计算：101622162228707682768288【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可进行整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=24247076828864707682768288947076828824241016222841016221622283410162228=242424247076828864707682768288947076828824242424768288944101622=2424768288944101622=24=2147376【答案】2147376【巩固】计算：123434565678979899100【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A，再设23454567678996979899B，则123423453456979899100AB197989910010119010098805，现在知道A与B的和了，如果能再求出A与B的差，那么A、B的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100AB4(123345567...979899)222242(21)4(41)6(61)98(981)33334(24698)4(24698)4/41-2-2-2.整数裂项.题库教师版page4of422114849504100494248010200所以，1901009880480102002974510040A．【答案】974510040【例5】2004200320032002200220012001200021【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式20032200123212213520012003212003100222008008其中也可以直接根据公式2135721nn得出2135200120031002【答案】2008008【例6】11!22!33!20082008!【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】观察发现22!221(31)213!2!，33!3321(41)3214!3!，⋯⋯20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)2009!【答案】2009!【例7】计算：1234569910023459899【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】设原式=BA122334989999100AB1123012234123991001019899100319910010133330031232992501005000BA3333005000338333330050003283BA【答案】33833283
