4.24.2一元二次方程的解法一元二次方程的解法根的判别式根的判别式((第第55课时）课时）4.24.2一元二次方程的解法一元二次方程的解法根的判别式根的判别式((第第55课时）课时）知识回顾知识回顾1.一元二次方程的求根公式是什么？aacbbx242一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？知识回顾知识回顾3.用公式法解下列方程：⑴x2＋x－1=0⑵x2－2⑶2x2－2x＋1=03x＋3=0尝试尝试：：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3（3）没有实数根答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；你能得出什么结论？可以发现b2－4ac的符号决定着方程的解。概括总结概括总结，x2=2由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根当b2－4ac＜0时，方程没有实数根我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式。若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac=0当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac＜0概念巩固概念巩固1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=，所以方程的根的情况是.2.下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=0-8方程无实数根D3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥0D典型例题典型例题例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1）-x2+x-6=0（2）x2+4x=2（3）4x2+1=-3x（4）x2-2mx+4（m-1）=062典型例题典型例题例2：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。解：1253755103710334142222222mmmmmmmacb∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根典型例题典型例题例3：m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+989（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0∴m＞89（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0∴m=89（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0∴m＜898989∴当m＞时，方程有两个不相等的实数根；当m=时，方程有两个相等的实数根；当m＜时，方程没有实数根练一练练一练例4：已知关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：∵方程有两个不相等的实数根即k＜81∴（2k+1）2-4k（k+3）＞04k2+4k+1-4k2-12k＞0-8k+1＞0练一练练一练1.不解方程，判断方程根的情况：（1）x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0(4)x2+5=x52练一练练一练2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A、没有实数根B、可能有且仅有一个实数根C、有两个相等的实数根D、有两个不相等的实数根。归纳总结归纳总结一元二次方程的根的情况与系数的关系？b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。
