导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算VIP免费

第1讲变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导．【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导．基础梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1.若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.斜率3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axlna；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝1xlna；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.5．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．6．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.一个区别曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．双基自测1．下列求导过程中①1x′＝－1x2；②(x)′＝12x；③(logax)′＝lnxlna′＝1xlna；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝exlnalna＝axlna其中正确的个数是()．A．1B．2C．3D．4答案D2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()．A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案C4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()．A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析令f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2x＋1x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C.答案C5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝________(用数字作答)．答案2－2考向一导数的定义【例1】►利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x3的交点．[审题视点]正确理解导数的定义是求解的关键．解f′(x0)曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x30＝3x20·(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，由y＝x3，y＝3x20x－2x30，得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x30)，(－2x0，－8x30)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)求极限法二设y＝f(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)因此f′(x)＝[－f(－x)]′＝－[f(－x)]′＝f′(－x)则f′(x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数．考向二导数的运算【例2】►求下列各函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝sinx21－2cos2x4；(4)y＝11－x＋11＋x；[审题视点]先把式子化为最简式再进行求导．(3) y＝sinx2－cosx2＝－12sinx，∴y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.(4)y＝11－x＋11＋x＝1＋x＋1－x1－x1＋x＝21－x，∴y′＝21－x′＝－21－x′1－x2＝21－x2.(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．【训练2】求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝cosxs...