4．4平面向量的应用考点梳理一、向量在平面几何中的应用1．证明线段相等、平行，常运用向量的加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．2．证明线线平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量(共线)的条件，a∥b⇔_____________⇔_________________________.3．证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔_______________⇔_______________.x1x2＝y1y2x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)a·b＝0x1x2＋y1y2＝04．求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝a·b|a|·|b|＝___________________________.5．用向量方法解决几何问题的步骤：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22二、向量在解析几何中的应用1．直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝a2a1；如果已知直线的斜率为k＝a2a1，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．2．与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为____________________，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为___________________.y－y0＝a2a1(x－x0)y－y0＝－a1a2(x－x0)三、向量在物理中的应用1．向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用．2．向量在速度的分解与合成中的应用．3．用向量方法解决物理问题的步骤．(1)将相关物理量用几何图形表示出来．(2)将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题．(3)最后将数学问题还原为物理问题．考点自测1.在四边形ABCD中，AB→·BC→＝0，且AB→＝DC→，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形解析： AB→·BC→＝0，∴AB⊥BC.又AB→＝DC→，∴AB綊DC，故四边形ABCD为矩形．答案：C2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．10m/sB．226m/sC．46m/sD．12m/s解析：如图所示小船在静水中的速度为：102＋22＝226m/s.答案：B3．如图，两条绳提一个物体，每条绳用力5N，绳夹角为60°，则物体重量W为()A．5NB．53NC．52ND．10N解析：W＝2|F1|·cos30°＝2×5×32＝53N.答案：B4．▱ABCD三个顶点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，则顶点D的坐标为()A．(2,1)B．(2,2)C．(1,2)D．(2,3)解析：设D(x，y)，则AD→＝(x＋2，y－1)，BC→＝(4,1)，又AD→＝BC→，∴x＋2＝4，y－1＝1⇒x＝2，y＝2.答案：B5．△ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)，则实数m＝__________.解析：(特殊值法)当△ABC为等腰直角三角形时，O为斜边AC的中点，AB、BC边上高的交点H与B重合．∴OA→＋OB→＋OC→＝OB→＝OH→.∴m＝1.答案：1疑点清源1.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．3．平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.题型探究题型一利用向量解决平面几何问题例1.如图，正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，求∠DOE的余弦值．解析：方法一：OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋12AB→，OE→＝OC→＋CE→＝OC→＋12CB→.∴OD→·OE→＝OA→＋12AB→·OC→＋12CB→＝OA→·OC→＋12(AB→·OC→＋OA→·CB→)＋14AB→·CB→. OA→⊥OC→，AB→⊥CB→，∴OA→·OC→＝0，AB→·CB→＝0. AB→＝OC→，OA→＝CB→，∴AB→·OC...
