第2讲参数方程【2013年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法．基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数x＝ft，y＝ft，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．(2)圆的参数方程x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecφ，y＝tanφ(φ为参数)．抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．双基自测1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－t，y＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是()．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线解析 ρcosθ＝x，∴cosθ＝xρ代入到ρ＝cosθ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又 x＝－1－t，y＝2＋t，相加得x＋y＝1，表示直线．答案D2．若直线x＝1－2t，y＝2＋3t(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.解析参数方程x＝1－2t，y＝2＋3t，所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－32×－4k＝－1，解得k＝－6.答案－63．二次曲线x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析题中二次曲线的普通方程为x225＋y29＝1左焦点为(－4,0)．答案(－4,0)5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ＜π)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．解析由x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ＜π)得，x25＋y2＝1(y≥0)由x＝54t2，y＝t(t∈R)得，x＝54y2，∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝45或y2＝－4(舍去)．则x＝54y2＝1又θ≥0，得交点坐标为1，255.答案1，255考向一参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)x＝3＋cosθ，y＝2－sinθ；(2)x＝1＋12t，y＝5＋32t.[审题视点](1)利用平方关系消参数θ；(2)代入消元法消去t.解(1)由已知cosθ＝x－3，sinθ＝2－y，由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋32t中，得y＝5＋32(2x－2)，即3x－y＋5－3＝0就是它的普通方程．参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】(2010·陕西)参数方程x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)化成普通方程为________．解析由x＝cosα，y＝1＋sinα，得x＝cosα，①y－1＝sinα，②①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.答案x2＋(y－1)2＝1如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】已知直线l的参数方程为x＝1＋t，y＝4－2t(参数t∈R)，圆C的参数方程为x＝2cosθ＋2，y＝2sinθ(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．解由x＝1＋t，y＝4－2t消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，由x＝2cosθ＋2，y＝2sinθ消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝...
