空间向量及运算VIP免费

空间向量及运算空间向量及运算知识梳理大小1．空间向量的有关概念及线性运算(1)在空间内，具有________和________的量叫做空间向量．可用有向线段来表示．空间向量的大小被称为模(或长度)，长度为0的向量为零向量．(2)共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．方向(3)空间向量的加法与数乘向量运算满足如下规律：①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③数乘分配律：λ(a＋b)＝__________；④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)a.2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使____________．λa＋λba＝λb(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝______________.其中不共面的三个向量a、b、c叫做空间的一个______，每一个向量a、b、c叫做基向量．xa＋yb＋zc基底3．空间向量的数量积(1)两个向量的夹角：对于两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角，记作：〈a，b〉，其取值范围是：______________.(2)两个向量的数量积的定义：a·b＝______________.(3)两个向量的数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝____________.(4)两个向量的数量积的性质：①a·e＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a；④a·b≤|a||b|.(5)若b0为b的单位向量，则称a·b0＝acos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．0≤〈a，b〉≤π|a||b|cos〈a，b〉a·c＋b·c4．空间向量的坐标运算若向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：(1)a＋b＝______________；(2)a－b＝______________；(3)ka＝____________；(4)a·b＝______________；(5)|a|＝a2＝______________；(6)夹角公式：cos〈a，b〉＝______________；(7)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)或a1b1＝a2b2＝a3b3；(8)a⊥b⇔________________.(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(ka1，ka2，ka3)a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3＝0问题思考►问题1空间向量的线性运算(1)空间两个向量a和b共线的充要条件是存在实数λ使得a＝λb；()(2)对于空间任一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使OP→＝(1－t)OA→＋tOB→或OP→＝xOA→＋yOB→(其中x＋y＝1)．()[答案](1)错(2)错[解析](1)必须b≠0，这是因为在b＝0时，如果向量a＝0，两个零向量方向都是任意的，谈不上共线；若a≠0，则不存在实数λ使得a＝λb.(2)必须加条件O不在直线AB上，否则点P在直线AB上未必有OP→＝(1－t)OA→＋tOB→或OP→＝xOA→＋yOB→(其中x＋y＝1)．(可画图看看)►问题2向量组{a，b，c}称为空间的一个基底时，向量a，b，c必须不共面．()[解析]如果向量a，b，c共面，根据共面向量定理c＝λa＋μb，则p＝xa＋yb＋zc＝(x＋zλ)a＋(y＋zμ)b，再根据共面向量定理p与a，b共面，这样p就和向量a，b，c共面了，这时所表达的就不是空间的任一向量．[答案]对►问题3(1)如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足关系式OP→＝OA→＋ta；()(2)若A，B，C三点不共线，则点A，B，C，D共面的充要条件是存在实数λ，μ，使得AD→＝λAB→＋μAC→；()(3)若A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点，则点D在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，z，使得OD→＝xOA→＋yOB→＋zOC→且x＋y＋z＝1.()[答案](1)对(2)对(3)对[解析](1)点P在直线l上的充要条件是AP→与a共线，故存在实数t，满足关系式AP→＝ta，即OP→＝OA→＋ta.(2)根据共面向量定理直接得出．(3)根据(2)只要把AD→＝OD→－OA→，AB→＝OB→－OA→，AC→＝OC→－OA→代入AD→＝λAB→＋μAC→即得．要点探究►探究点1空间向量概念与线性运...