曲线与方程课件VIP免费

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程第二章圆锥曲线与方程探究点1曲线的方程与方程的曲线问题1：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线和方程x-y=0有什么关系？xOyx-y=0),(00yxM(1)在直线上任找一点则是方程x-y=0的解；00(,),Mxy0000,xyxy，即（）(2)如果的解，那么00(,).xy以为坐标的点在直线上000(,)xyxy是图象上的点M与此方程，有什么关系？222()()xaybr问题2：方程表示如图的圆，222()()xaybr（1）圆上任一点22200(,)()()的坐标是方程Mxyxaybr(,).为坐标的点在以为圆心，以为半径的圆上abr22002002(,)()()(,)（）若是方程的解，则以xyxaybrxy的解.·0xy00(,)Mxy222()()xaybr.按某种规律运动几何对象x,y制约关系代数表示点曲线C坐标（x,y）方程f(x,y)=0通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程f(x,y)=0.曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为f(x,y)=0,那么点在曲线C上的等价条件是000(,)Pxy000(,).fxy问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为半径的圆上半部分和方程.422yx【提升总结】问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲线的性质转化到讨论相应方程的问题上.例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.证明：（1）设是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为，与y轴的距离为，所以00(,)Mxy0x0y00,xyk00(,).xyxyk即是方程的解1112(,)Mxyxyk（）设点的坐标是方程的解，则11.xyk即11,xyk而正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由(1)(2)可知,是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.11xy，xykC例2方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()解析：选C.方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．故选C.解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C.【变式练习】方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线C1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点[思路探索]从定义入手，考查定义中的两个条件．D2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝B．y＝lgx2与y＝2lgxC.＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝x12yx21x解析：选D.主要考虑x与y的范围.D3.方程y＝所表示的曲线是______．122xx211():yxx解析答案：以(1，0)为端点的两条射线4.已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．24y解：由x＝，得x2＋y2＝4，又x≥0，所以方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.1224y24y在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方...