人教数学选修4-5全册精品课件：第三讲三排序不等式VIP免费

三排序不等式三排序不等式课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题；2．体会运用经典不等式的一般思想方法．课前自主学案1．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称_________________________为顺序和,________________________________为反序和，___________________________为乱序和．2．排序原理可简记为：_______________________．a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＋a3bn－2＋…＋anb1a1bn＋a2bn－1a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn反序和≤乱序和≤顺序和思考感悟排序不等式除教材上的证明方法外，还有其他证明方法吗？提示：排序不等式的证明方法比较灵活，还有其他证明方法．课堂互动讲练用排序不等式求最值考点突破例例11设a、b、c为正数，求ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值．【思路点拨】先不妨设定大小顺序，再找1b＋c，1c＋a，1a＋b的大小顺序，用排序不等式证明．【解】不妨设a≥b≥c.于是a＋b≥c＋a≥b＋c.又 a≥b≥c，1b＋c≥1c＋a≥1a＋b.由排序不等式：顺序和≥乱序和得：ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋aa＋b，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ba＋b，两式相加得：2(ab＋c＋bc＋a＋ca＋b)≥3.【名师点评】本题的关键是构造常数，3＝b＋cb＋c＋c＋ac＋a＋a＋ba＋b＝bb＋c＋cb＋c＋cc＋a＋ac＋a＋aa＋b＋ba＋b.∴ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.当且仅当a＝b＝c，等号成立．∴ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值为32.解：不妨设a3>a1>a2>0，则1a3<1a1<1a2，∴a1a2122>132>…>1n2，由排序不等式，得a1＋a222＋a332＋…＋ann2＝b1＋b222＋b332＋…＋bnn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.【名师点评】本题证明关键是构造本不等式中用到的一些数字如1、122、132等，并比较出大小．变式训练2设a1，a2，…，an为1,2，…，n的一个排列．证明：12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋an－1an.证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b11c2>…>1cn－1.由乱序和≥反序和得a1a2＋a2a3＋…＋an－1an≥b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1. b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，∴b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，即12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋an－1an.已知a，b，c∈R＋.a≥b≥c，求证：(1)1bc≥1ca≥1ab；(2)a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.例例33【证明】(1) a≥b>0，于是1a≤1b， c>0，∴1c>0，∴1bc≥1ca.同理：b≥c>0，∴1b≤1c， a>0，∴1a>0.1ca≥1ab.∴1bc≥1ca≥1ab.(2)由(1)1bc≥1ca≥1ab，于是由顺序和≥乱序和得a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3(因为a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3)≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.【名师点评】对于(2)要利用(1)的不等式，结合题设条件a≥b≥c构造a2≥b2≥c2和1c3≥1b3≥1a3而证之．变式训练3已知a，b，c为正数，用排序不等式证明a2b2＋b2c2＋c2a2a＋b＋c≥abc.证明：不妨设b≥a≥c，∴ab≥bc≥ac.a＋b＋c>0，∴aba＋b＋c≥bca＋b＋c≥aca＋b＋c.由排序不等式可得ab2a＋b＋c＋bc2a＋b＋c＋ac2a＋b＋c≥ab·bca＋b＋c＋bc·aca＋b＋c＋ac·aba＋b＋c＝abca＋b＋ca＋b＋c，∴a2b2＋b2c2＋a2c2a＋b＋...