双基限时练(二十二)1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.BD＝CEB.BD与CE共线C.BE＝BCD.DE与BC共线解析由题意知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴DE与BC共线．答案D2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析DB＋DC－2DA＝(DB＋AD)＋(DC＋AD)＝AB＋AC，∴(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0.即AB2＝AC2，∴|AB|＝|AC|.故选B.答案B3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两边的三角形的面积解析如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|.又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c||cosθ|＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值一定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．答案A4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，B，则与直线AB平行的向量的坐标可以是()①；②；③；④(－7,9)．A．①B．①②C．①②③D．①②③④解析∵A(4,6)，B，∴AB＝，易知①、②、③与AB平行，故选C.1答案C5．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP＝λAB，若OP·AB≥PA·PB，则实数λ的取值范围是()A.B.C.D.解析设P(x，y)，则OP＝(x，y)，AB＝(－1,1)，PA＝(1－x，－y)，PB＝(－x,1－y)，∵AP＝λAB，∴(x－1，y)＝(－λ，λ)，∴∴①又∵OP·AB＝(x，y)·(－1,1)＝－x＋y，PA·PB＝(1－x，－y)·(－x,1－y)＝－x(1－x)－y(1－y)，∴－x＋y≥－x(1－x)－y(1－y)，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－≤λ≤1＋，又P是线段AB上的动点，∴λ≤1，∴1－≤λ≤1，故选B.答案B6．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()A．2B．4C．5D．10解析∵PA＝CA－CP，∴|PA|2＝CA2－2CP·CA＋CP2.∵PB＝CB－CP，∴|PB|2＝CB2－2CP·CB＋CP2.∴|PA|2＋|PB|2＝(CA2＋CB2)－2CP·(CA＋CB)＋2CP2＝AB2－2CP·2CD＋2CP2.又AB2＝16CP2，CD＝2CP，代入上式整理得|PA|2＋|PB|2＝10CP2，故所求值为10.答案D7．在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比为________．解析∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PC＝AB－PA－PB＝AP＋AB＋BP＝2AP，∴A，P，C三点共线，且点P是靠近点A的线段AC的三等分点，故＝.答案8．质量m＝2.0kg的物体，在4N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，则水平力在3s内对物体所做的功为__________．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则OA·OB＝________.2解析如图，∵AB＝，取D为AB的中点，又OA＝1，∴∠AOD＝.∴∠AOB＝.∴OA·OB＝1×1×cos＝－.答案－9.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．解析以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则由题意知，点B(，0)，点E(，1)，设点F(a,2)，所以AB＝(，0)，AF＝(a,2)．由条件解得点F(1,2)，所以AE＝(，1)，BF＝(1－，2)．所以AE·BF＝.答案10．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．解析如下图，过B作BD∥MN，3易知m＝＝，n＝，∴m＋n＝.∵＝＝1，∴AD＋AC＝2AN.∴m＋n＝2.答案211.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC.分析解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵BC＝BD＋DC＝d－c，∴AD·BC＝e·(d－c)＝0.∴AD⊥BC，即AD⊥BC.12．已知点A、B的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且OC＝3OA，OD＝3OB，求证：AB∥CD.证明∵OC＝3OA，OD＝3OB，∴C(－12,9)，D(6,15)，∴AB＝(6,2)，CD＝(18,6)．∴CD＝3AB，∴AB∥CD.13．如图所示，以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．4解设B(x，y)，则|OB|＝.∵B(x，y)，A(5,2)，∴|AB|＝.又|AB|＝|OB|，∴＝，整理，得10x＋4y＝29①∴又OB＝(x，y)，AB＝(x－5，y－2)，且OB⊥AB.∴OB·AB＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0，②由①、②解得或∴B或.5
