平面向量的坐标运算（2）1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中，正确结论的个数是2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则m＝n＝3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝5．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sinα，cosβ)，α、β∈(－，)，则α＋β＝______.6．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．7．在▱ABCD中，已知＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于O点，则的坐标是________．8．已知点A(1,2)，B(2,5)，＝2，则点C的坐标为________．9．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)．(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图像上？(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．1.解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标与终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．答案：12.解析：∵ma＋nb＝m(3，－1)＋n(－1,2)＝(3m－n，－m＋2n)＝(10,0)，∴∴m＝4，n＝2.答案：m＝4，n＝23.解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．答案：(－2，－6)4.解析：联立①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)∴a＝(－3,4)．答案：(－3,4)5.解析：∵＝(－1,1)＝(－，)＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－且cosβ＝，∴α＝－，β＝或－.∴α＋β＝或－.答案：或－6.解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，∴解得∴a＝e1＋e2.答案：a＝e1＋e27.解析：＝－＝－(＋)＝－[(－2,3)＋(3,7)]＝.答案：(－，－5)8.解析：∵＝(1,3)，∴＝(2,6)．则＝＋＝(1,2)＋(2,6)＝(3,8)．答案：(3,8)9.解：∵→＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得＋＋＝m＋n，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，∴∴∴＋＋＝32－22.10解：设P点坐标为(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3)．＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)，由＝＋λ，可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，则解得∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图像上．(2)因为点P在第三象限，∴解得λ＜－1，∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
