第1课时证明空间位置关系1．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则()A．l∥α或l⊂αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：A[由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A.]2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于()A．2B．－4C．－5D．－2解析：C[因为α⊥β，所以1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)×k＝0，所以k＝－5.]3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.解析：D[因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)．经验证，当n＝时，n·AB＝－＋0＝0，n·AC＝＋0－＝0，故选D.]4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析：C[以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴PM＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，AM＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.故选C项．]5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：B[以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D＝(－1,0，－1)，AC＝(－1,1,0)，EF＝，BD1＝(－1，－1,1)，EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.]6．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)．答案：(0，，)7．(2019·武汉市调研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________________________________________________________________________．解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·AC＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.答案：α∥β8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．解析： 正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴MB＝A1B，CN＝CA，∴MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA)＝B1B＋B1C1.又 CD是平面B1BCC1的法向量，∴MN·CD＝·CD＝0，∴MN⊥CD.又 MN⊄平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.答案：平行9．如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1瘙綊¤BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明： 二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，∴AA1⊥平面BAC.又 AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．(1)A1B1＝(0,2,0)，A1A＝(0,0，－2)，AC＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，则n＝(0,1,0)．∴A1B1＝2n，即A1B1∥n.∴A1B1⊥平面AA1C.(2)易知AB1＝(0,2,2)，A1C1＝(1,1,0)，A1C＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．∴AB1·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴AB1⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明：(1)以...
