第4节数系的扩充与复数的引入1.(2018·全国Ⅲ卷)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i解析:D[(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i,选D.]2.(2019·遂宁市模拟)已知复数z=a+i(a∈R),若z+z=4,则复数z的共轭复数z=()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析:B[∵z=a+i,∴z+z=2a=4,得a=2.∴复数z的共轭复数z=2-i.故选B.]3.(2019·天津市模拟)若复数z满足=1-i,则其共轭复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:A[由=1-i,得z===-i,∴z=+i,则z在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故选A.]4.(2019·包头市一模)设复数z满足(1+i)z=i-1,则|z|=()A.4B.1C.2D.3解析:B[由(1+i)z=i-1,得z====i,则|z|=1.故选B.]5.(2019·上饶市模拟)设a,b∈R,a=,则b=()A.-2B.-1C.1D.2解析:A[∵a===+i,∴,解得b=-2.故选A.]6.(2019·唐山市模拟)复数z=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为()A.1B.iC.2D.2i解析:A[∵z===+i是纯虚数,∴,解得a=1,则z=i,∴z的虚部为1.故选A.]7.若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为()A.-20B.-2C.4D.6解析:A[因为(z1-z2)i=(-2+20i)i=-20-2i,所以复数(z1-z2)i的实部为-20.]8.(2017·全国Ⅰ卷)设有下列四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4解析:B[设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0,故z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,所以p2为假命题;对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=z2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0,故z=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.]9.(2019·天津市模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=________.解析:由图形可得,A点表示的复数z1为i,B点表示的复数z2为2-i,∴===-1-2i.答案:-1-2i10.(2019·奉贤区调研)设z是复数,a(z)表示满足zn=1时的最小正整数n,i是虚数单位,则a=________________.解析:因为===i,依次代入in=1,发现n=4时等式第一次成立,所以a=a(i)=4.答案:4