课时作业22解三角形应用举例一、选择题1．(2014·茂名二模)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m解析：由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．答案：A2．(2014·宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB＝45°，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD＝，则AD的距离为()A．2米B．2.5米C．3米D．4米解析：设AD＝x，则BD＝9－x，CD＝，在△ACD中应用正弦定理得＝，即＝，所以2[92＋(9－x)2]＝26x2，即81＋81－18x＋x2＝13x2，所以2x2＋3x－27＝0，即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3(米)．答案：C13．(2014·哈尔滨模拟)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：依题意可得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案：B4．(2014·大连模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB为()A．10mB．10mC．15mD．10m解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝30(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝30tan30°＝10(m)．答案：D5．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米．甲船以每小时4千米的速度向北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲船在A，B之间，且甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.分钟B.小时C．21.5分钟D．2.15分钟2解析：如图，设航行x小时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，在△BCD中，BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°，两船相距S千米，根据余弦定理可得，DC2＝BD2＋BC2－2BC·BDcos∠CBD＝(6x)2＋(10－4x)2－2×6x(10－4x)·cos120°，即S2＝28x2－20x＋100＝282＋100－28×2，所以当x＝＝时，S2最小，从而S也最小，即航行×60＝分钟时两船相距最近．故选A.答案：A6．(2015·广州调研)如图所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()A.B.C.D.解析：由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，得3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.答案：A二、填空题7．(2015·宜昌模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东__________(填角度)的方向前进．3解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝⇒sin∠BAC＝.又0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°.答案：30°8．(2015·湘潭模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为__________m.解析：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，所以BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.4答案：409．(2015·杭州一中月考)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是__________nmile/h.解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v...
