课时作业22解三角形应用举例一、选择题1.(2014·茂名二模)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测量A,B两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°.就可以计算出A,B两点的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m解析:由正弦定理得=,∴AB===50(m).答案:A2.(2014·宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离,他站在地面C处,利用皮尺量得BC=9米,利用测角仪测得仰角∠ACB=45°,测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD=,则AD的距离为()A.2米B.2.5米C.3米D.4米解析:设AD=x,则BD=9-x,CD=,在△ACD中应用正弦定理得=,即=,所以2[92+(9-x)2]=26x2,即81+81-18x+x2=13x2,所以2x2+3x-27=0,即(2x+9)(x-3)=0,所以x=3(米).答案:C13.(2014·哈尔滨模拟)如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°解析:依题意可得AD=20m,AC=30m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案:B4.(2014·大连模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=135°,CD=30m,并在点C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB为()A.10mB.10mC.15mD.10m解析:在△BCD中,∠CBD=180°-15°-135°=30°,由正弦定理,得=,所以BC==30(m).在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=30tan30°=10(m).答案:D5.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米.甲船以每小时4千米的速度向北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲船在A,B之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()A.分钟B.小时C.21.5分钟D.2.15分钟2解析:如图,设航行x小时,甲船航行到C处,乙船航行到D处,在△BCD中,BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,两船相距S千米,根据余弦定理可得,DC2=BD2+BC2-2BC·BDcos∠CBD=(6x)2+(10-4x)2-2×6x(10-4x)·cos120°,即S2=28x2-20x+100=282+100-28×2,所以当x==时,S2最小,从而S也最小,即航行×60=分钟时两船相距最近.故选A.答案:A6.(2015·广州调研)如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα等于()A.B.C.D.解析:由题意,可得在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,得3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=,所以sinα=,所以tanα==.答案:A二、填空题7.(2015·宜昌模拟)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东__________(填角度)的方向前进.3解析:设两船在C处相遇,则由题意∠ABC=180°-60°=120°,且=,由正弦定理得==⇒sin∠BAC=.又0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°.答案:30°8.(2015·湘潭模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为__________m.解析:如图,设电视塔AB高为xm,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=x.在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即(x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40,所以电视塔高为40m.4答案:409.(2015·杭州一中月考)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8nmile.此船的航速是__________nmile/h.解析:设航速为vnmile/h,在△ABS中,AB=v...