第2节平面向量基本定理与坐标表示考试要求1.理解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[常用结论与易错提醒]1.若a与b不共线，且λa＋μb＝0,则λ＝μ＝0.2.已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.4.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.()(5)在△ABC中，设AB＝a，BC＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.(5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角.答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝()A.B.2C.5D.50解析 a－b＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，∴|a－b|＝＝.故选A.答案A3.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.答案4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.解析设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得答案(1，5)5.已知向量a＝(－2，x)，b＝(y，3)，若a∥b且a·b＝12，则x＝__________，y＝__________.解析由已知条件得解得答案2－36.已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0.(1)用OA，OB表示OC为________；(2)若点D是OB的中点，则四边形OCAD的形状是________.解析(1)因为2AC＋CB＝0，所以2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，所以OC＝2OA－OB.(2)如图，D为OB的中点，则DA＝DO＋OA＝－OB＋OA＝(2OA－OB).故DA＝OC，即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.答案(1)2OA－OB(2)梯形考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A.ADB.ADC.BCD.BC(2)(一题多解)(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，，OA与OC的夹角为α，且tanα＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析(1)如图所示，EB＋FC＝(EC－BC)＋(FB＋BC)＝EC＋FB＝AC＋AB＝(AC＋AB)＝AD.(2)法一如图，过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，设OD＝mOA，DC＝nOB，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，由tanα＝7，得cosα＝，又由余弦定理知即①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－<0(舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3.法二因为tanα＝7，所以cosα＝，sinα＝.过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，则OC＝OD＋DC，∠OCD＝45°.又因为OC＝mOA＋nOB，所以OD＝mOA，DC＝nOB...
