7.2柱、锥、台的体积1.将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱,则该四棱柱的高为()A.8cmB.80cmC.40cmD.cm解析:设正四棱柱的高为hcm,依题意得5×5×h=2×103,解得h=80(cm).答案:B3.导学号62180062某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+解析:该几何体是组合体,下面是底面直径为2、高为2的圆柱,上面是底面边长为,侧棱长为2的正四棱锥,该正四棱锥的高为,所以该几何体的体积为2π+×()2×=2π+.答案:C4.(2016广州高三模拟)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8-2πB.8-πC.8-D.8-解析:该几何体由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱所得.所以其体积为V=23-2×π·12×2=8-π,故选B.答案:B5.三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA+PB=4,PC=1,则此三棱锥的体积()A.有最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.有最大值,无最小值D.无最大值,也无最小值解析:设PA=x,则PB=4-x,V=PA·PB·PC=x(4-x)=-(x-2)2+,故Vmax=,故选C.答案:C6.已知圆台的母线长为13cm,两底面面积分别为4πcm2和49πcm2,则该圆台的体积为.解析:如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由上、下底面面积分别为4πcm2,49πcm2得,上底半径O1A=2cm,下底半径OB=7cm,又因为腰长为13cm,所以圆台的高AM==12(cm),所以圆台的体积V台=(S上++S下)h=(4π++49π)×12=268π(cm3).答案:268πcm37.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知,该几何体下半部分为长方体,边长分别为10,4,5,所以体积为10×4×5=200.上半部分为平放的半圆柱,上底半径为3,高是2,所以半圆柱的体积为×π×32×2=9π,所以该几何体的体积为200+9π.答案:200+9π8.已知一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,求h.解:设圆锥形容器的液面的半径为R,则液体的体积为πR2h,圆柱形容器内的液体体积为πh.根据题意,有πR2h=πh,解得R=a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得,所以h=a.9.如图(1)所示,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E,F分别为CD,AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE位置(如图(2)所示),连接AP,PF,其中PF=2.(1)求证:PF⊥平面ABED;(2)求点A到平面PBE的距离.(1)证明:连接EF,由翻折的不变性可知,PB=BC=6,PE=CE=9.在△PBF中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,∴PF⊥BF.在图(1)中,可得EF=.∵EF2+PF2=61+20=81=PE2,∴PF⊥EF,又BF∩EF=F,BF⫋平面ABED,EF⫋平面ABCD,∴PF⊥平面ABED.(2)解:由(1)知,PF⊥平面ABED,∴PF为三棱锥P-ABE的高.设点A到平面PBE的距离为h.因为VA-PBE=VP-ABE,所以S△PBEh=S△ABE·PF,即×6×9×h=×12×6×2,解得h=.10.导学号62180063如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,∠APD=90°.(1)求证:平面PAB⊥平面PCD;(2)若AB=BC=2,PB=PC=,求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明:因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形,所以CD⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⫋平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PA.又∠APD=90°,即PA⊥PD,而CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD.因为PA⫋平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.(2)解:作PO⊥AD,垂足为O,则PO⊥平面ABCD.连接OB,OC,则PO⊥OB,PO⊥OC,因为PB=PC,所以Rt△POB≌Rt△POC,所以OB=OC.依题意,四边形ABCD是边长为2的正方形,由此知O是AD的中点.在Rt△OAB中,AB=2,OA=1,则OB=,在Rt△OPB中,PB=,OB=,则PO=1,故四棱锥P-ABCD的体积V=AB2·PO=.
