高中数学 学业分层测评19 向量的正交分解与向量的直角坐标运算（含解析）新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP免费

学业分层测评(十九)向量的正交分解与向量的直角坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知A(3,1)，B(2，－1)，则BA的坐标是()A.(－2，－1)B.(2,1)C.(1,2)D.(－1，－2)【解析】BA＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).【答案】C2.(2016·威海高一检测)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()A.(1，－1)B.(－1,1)C.(－4,6)D.(4，－6)【解析】因为4a,3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6).【答案】D3.(2016·孝感高级中学期末)若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c用a，b表示为()A.－a＋bB.a－bC.a－bD.－a＋b【解析】设c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，则∴∴c＝a－b.故选B.【答案】B4.已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A.平行于y轴B.平行于第一、三角限的角平分线C.平行于x轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】a＋b＝(0,1＋x2)，故平行于y轴.【答案】A5.(2016·抚顺市质检)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为()A.B.C.D.【解析】如图所示，∵∠AOC＝45°，∴设C(x，－x)，则OC＝(x，－x).又∵A(－3,0)，B(0,2)，∴λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，∴⇒λ＝.【答案】C二、填空题6.已知点A(2,3)，B(－1,5)，且AC＝AB，则点C的坐标为________.【解析】因AC＝AB，即OC－OA＝(OB－OA)，所以OC＝OA＋OB＝(2,3)＋(－1,5)＝.【答案】7.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2AB＋3BC＋AC的坐标为________.【导学号：72010059】【解析】根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1).∴AB＝(1,0)，BC＝(0,1)，AC＝(1,1)，∴2AB＋3BC＋AC＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4).【答案】(3,4)三、解答题8.若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标.【解】设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有解得或故所求向量为a＝，b＝，或a＝，b＝.9.(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求AB，AC，AB＋AC，AB－AC，2AB＋AC.(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标.【解】(1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以AB＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)，AC＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，AB＋AC＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，AB－AC＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)，2AB＋AC＝2(3，－1)＋(－3,2)＝(6，－2)＋＝.(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)，3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10).[能力提升]1.在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,0)，＋＝，则四边形ABCD的面积是()A.B.C.D.【解析】为在BA方向上的单位向量，记为e1＝BM，类似地，设＝e2＝BN，＝e3＝BG，所以e1＋e2＝e3，可知四边形BNGM为菱形，且|BM|＝|BG|＝|BN|，所以∠MBN＝120°，从而四边形ABCD也为菱形，|AB|＝|BC|＝1，所以S▱ABCD＝|AB|·|BC|·sin∠ABC＝.【答案】D2.以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量AB的坐标.【解】因为△AOB为等边三角形，且A(2，－2)，所以|OA|＝|OB|＝|AB|＝4，因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为，当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：OB＝＝(2，2).所以AB＝OB－OA＝(2，2)－(2，－2)＝(0,4).当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：OB＝(0，－4)，所以AB＝OB－OA＝(0，－4)－(2，－2)＝(－2，－2).综上所述，点B的坐标为(2，2)，AB的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0，－4)，AB的坐标为(－2，－2).