湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：4.2.3直线与圆的方程的应用基础达标1．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()．A．5B．10C．15D．20解析圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC＝2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1，3)．故EF＝，∴BD＝2＝2，∴S四边形ABCD＝AC·BD＝10.答案B2．一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短距离是()．A．4B．5C．3－1D．2解析圆C的圆心坐标为(2，3)，半径r＝1.点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因A′在反射线上，所以最短距离为|A′C|－r，即－1＝4.答案A3．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析两圆圆心分别为O(0，0)，O1(m，0)且＜|m|＜3，又∵OA⊥O1A，∴m2＝()2＋(2)2＝25，∴m＝±5，∴AB＝2×＝4.答案4二、填空题4．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析∵点A(1，2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5、，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.答案5．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0，若A∩B为只有一个元素的集合，则r的值为________．解析由题意A∩B为只有一个元素的集合，则圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为相切：内切或外切．由条件知两圆连心线的长为|C1C2|＝＝5，当两圆内切时，|C1C2|＝|r1－r2|，即5＝|2－r|，又r＞0，得r＝7.当两圆外切时，|C1C2|＝|r1＋r2|，即5＝|2＋r|，又r＞0，得r＝3.答案3或76．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则这两条切线的夹角等于________度．解析圆的方程可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心为P(0，6)，半径为3，过原点O作圆P的两条切线、切点为A、B(如图)在Rt△PAO中，|OP|＝6，|PA|＝3，∴∠AOP＝30°，故两切线的夹角为60°.答案601三、解答题7．已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)，点P是圆上一动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．解设点P为(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最大、最小值，只需求μ＝x＋y的最大、最小值，此即求⊙C上点到原点距离之平方的最大、最小值．设直线OC交⊙C于P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则μmin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2，此时OP1∶P1C＝4，∴dmin＝34，对应P1坐标为，同理可得dmax＝74，对应P2坐标为.能力提升8．过点P(2，3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为()．A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x－2y－1＝0解析弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.答案B9．函数y＝－的值域为________．解析显然函数的定义域为R，y＝－设P(x，0)，A，B为平面上三点，则|PA|＝＝，|PB|＝＝.y＝|PB|－|PA|.∵||PB|－|PA||＜|AB|，且|AB|＝1，∴|y|＜1，即－1＜y＜1，故函数的值域为(－1，1)．答案(－1，1)10．圆M：x2＋y2－4x－2y＋4＝0.(1)若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；(2)从圆外一点P(a，b)，向该圆引切线PA，切点为A，且|PA|＝|PO|，O为坐标原点．求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标．解(1)当切线过原点时，由题意可设切线为y＝kx，由＝1，得k＝，k＝0(舍)．当切线不过原点时，设切线为＋＝1.即x＋2y＝2m，由＝1，得2m＝4±，所以x＋2y＝4±.所以所求的切线方程为y＝x，x＋2y＝4±.(2)由条件|PA|＝|PO|，即|PA|2＝|PO|2，得(a－2)2＋(b－1)2－1＝a2＋b2，得2a＋b＝2，以PM为直径的圆的方程为x2＋y2－(2＋a)x－(b＋1)y＋b＋2a＝0，x2＋y2－(2＋a)x－(3－2a)y＋2＝0.2所以得或所以异于M的定点为.3
