习题课（八）三角恒等变换及应用一、选择题1．已知sin2α＝，则cos2＝()A．－B．－C．D．解析：选Dcos2＝＝＝.2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sinB．y＝coscos(π＋x)C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析：选By＝sin＝cos2x为偶函数，最小正周期为π，A错误；y＝coscos(π＋x)＝sinxcosx＝sin2x为奇函数，最小正周期为π，B正确；y＝sin2x＋cos2x＝sin为非奇非偶函数，最小正周期为π，C错误；y＝sinx＋cosx＝sin为非奇非偶函数，最小正周期为2π，D错误．3．已知sinα＝，cosα＝，则tan等于()A．2－B．2＋C．－2D．±(－2)解析：选C因为sinα＝，cosα＝，所以tan＝＝＝－2.4．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝()A．±1B．1C．－1D．0解析：选D原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝－cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D.5．若cos＝，则cos的值为()A．B．－C．D．－解析：选A cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，∴cos＝cos＝－cos＝，故选A.6．函数f(x)＝6cos－cos2x的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－4解析：选C函数f(x)＝6cos－cos2x化简可得f(x)＝6sinx＋2sin2x－1＝22－－1，当sinx＝－1时，函数f(x)取得最小值为－5.7．化简：的值为()A．－2B．2C．－1D．1解析：选D＝＝＝＝＝1.8．(2018·山西大学附中一诊)函数f(x)＝(0＜x＜π)的大致图象是()解析：选Bf(x)＝＝＝＝＝|cosx|，因为0＜x＜π，比较四个选项图象知选B.9．若函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a在区间上的最大值与最小值的和为，则a＝()A．－1B．0C．2D．3解析：选Bf(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a＝sin2x＋cos2x＋＋a＝sin＋＋a，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，则－≤sin≤1.又f(x)的最大值与最小值的和为，所以＋＝，解得a＝0.10．已知函数f(x)＝sinx＋cosx的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为()A.B.C.D.解析：选A因为f(x)＝sinx＋cosx＝2＝2sin，所以其对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z.解得x＝kπ＋，k∈Z.又函数f(x)＝sinx＋cosx的图象关于直线x＝a对称，所以a＝kπ＋，k∈Z.当k＝0时，最小正实数a的值为.二、填空题11．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，其最小正周期为T＝＝π.答案：π12．化简＝________.解析：原式＝＝＝. ＜θ＜2π，∴＜<π，∴原式＝sin.答案：sin13．若函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则m＝________.解析：f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋1＋cos2x＋m＝2sin＋m＋1， 0≤x≤，∴≤2x＋≤.所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2＋m＋1＝6，∴m＝3.答案：314．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinxcosx和g(x)＝cos2x的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．解析：f(x)＝sinxcosx＝sin2x，g(x)＝cos2x＝，所以MN＝|f(a)－g(a)|＝＝，则当sin＝－1时，MN取得最大值，为.答案：三、解答题15．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α的值．解： <β<α<，∴0＜α－β＜. cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝. ＜α＜，＜β＜，∴π＜α＋β＜. sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝－＝－.∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝×－×＝－.16．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x－∈，sin∈，sin＋1∈[0，＋1]．当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.所以当x∈时，f(x)≥0.17．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(3)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．解：f(x)＝sin2x－cos2x－2·＝sin2x＋cos2x－＝sin－.(1)函数f(x)的最小正周期为π.(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋...
