课时限时检测(二十三)正弦定理和余弦定理(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难正弦定理1,7余弦定理28判断三角形形状510求三角形的面积411综合应用36,912一、选择题(每小题5分，共30分)1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－B.C．－1D．1【解析】由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.【答案】D2．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.B.C.D.【解析】由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则cosA≥.因为0＜A＜π，所以0＜A≤.【答案】C3．若△ABC中，6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.B.C.D.【解析】由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝a，c＝2a.所以cosB＝＝＝.【答案】D4．(2013·课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为()A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1【解析】∵B＝，C＝，∴A＝π－B－C＝π－－＝.由正弦定理＝，得＝，即＝，∴c＝2.∴S△ABC＝bcsinA＝×2×2sin＝＋1.故选B.【答案】B5．(2014·潍坊模拟)在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若＝，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形1【解析】法一∵＝＝，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二∵＝＝，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－a4＝b2c2－b4.即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.即△ABC为等腰三角形或直角三角形．【答案】C6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5【解析】由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝±.∵A是锐角，∴cosA＝.又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴49＝b2＋36－2×b×6×，∴b＝5或b＝－.又∵b＞0，∴b＝5.【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．【解析】在△ABC中，由正弦定理可知＝，即sinB＝＝＝.又∵a>b，∴∠B＝.∴∠C＝π－∠A－∠B＝.【答案】8．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.【解析】由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，则cosC＝＝－.又因为角C为△ABC的内角，所以C＝.【答案】9．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.【解析】由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以cosC＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.2【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．【解】(1)由已知得cosA＝＝＝，又∠A是△ABC的内角，∴A＝.(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.又A＝，∴△ABC是等边三角形．11．(12分)(2014·威海期中)△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＋bsinB－csinC＝asinB.(1)求角C；(2)若a＋b＝5，S△ABC＝，求c的值．【解】(1)根据正弦定理＝＝，原等式可转化为：a2＋b2－c2＝ab，cosC＝＝，∴C＝60°.(2)S△ABC＝absinC＝ab·＝，∴ab＝6，c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝(a＋b)2－3ab＝25－18＝7，∴c＝.12．(13分)(2013·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝.(1)求b的值；(2)求sin的值．【解】(1)在△ABC中，由＝，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝，可得b＝.(2)由cosB＝，得sinB＝，进而得cos2B＝2cos2B－1＝－，sin2B＝2sinBcosB＝，所以sin(2B－)＝sin2Bcos－cos2Bsin＝.3
